Trojuholník 10 20 21

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 20 c = 21

Obsah trojuholníka: S = 98,90662055687
Obvod trojuholníka: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5

Uhol ∠ A = α = 28,09880547134° = 28°5'53″ = 0,49904035682 rad
Uhol ∠ B = β = 70,38440208646° = 70°23'2″ = 1,22884329049 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,5187924422° = 81°31'5″ = 1,42327561806 rad

Výška trojuholníka: v_a = 19,78112411137
Výška trojuholníka: v_b = 9,89106205569
Výška trojuholníka: v_c = 9,42196386256

Ťažnica: t_a = 19,88771818014
Ťažnica: t_b = 13,05875648572
Ťažnica: t_c = 11,82215904175

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,87986747282
Polomer opísanej kružnice: R = 10,61661185131

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[3,35771428571; 9,42196386256]
Ťažisko: T[8,1199047619; 3,14398795419]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; 1,56658774807]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 3,87986747282]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,90219452866° = 151°54'7″ = 0,49904035682 rad
∠ B' = β' = 109,61659791354° = 109°36'58″ = 1,22884329049 rad
∠ C' = γ' = 98,4822075578° = 98°28'55″ = 1,42327561806 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 20 c = 21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 20 + 21 = 51

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 1}{2} = 25, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25, 5 (25, 5 - 10) (25, 5 - 20) (25, 5 - 21) S = 9782, 44 = 98, 91

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 8 , 9 1}{1 0} = 19, 78 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 8 , 9 1}{2 0} = 9, 89 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 8 , 9 1}{2 1} = 9, 42

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 1}) = 28 ° 5^{'} 53 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 1 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 1}) = 70 ° 2 3^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 28 ° 5^{'} 53 " - 70 ° 2 3^{'} 2 " = 81 ° 3 1^{'} 5 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 8 , 9 1}{2 5 , 5} = 3, 88

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 0 \cdot 2 1}{4 \cdot 3 , 8 7 9 \cdot 2 5 , 5} = 10, 62

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 19, 887 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 13, 058 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 11, 822

Vypočítať ďaľší trojuholník