Trojuholník 10 20 23
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 10 b = 20 c = 23Obsah trojuholníka: S = 99,73768412373
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5
Uhol ∠ A = α = 25,69986873132° = 25°41'55″ = 0,44985267071 rad
Uhol ∠ B = β = 60,14437210096° = 60°8'37″ = 1,0549705956 rad
Uhol ∠ C = γ = 94,15875916772° = 94°9'27″ = 1,64333599905 rad
Výška trojuholníka: va = 19,94773682475
Výška trojuholníka: vb = 9,97436841237
Výška trojuholníka: vc = 8,67327688032
Ťažnica: ta = 20,96442552932
Ťažnica: tb = 14,64658185159
Ťažnica: tc = 10,85112672071
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,76436543863
Polomer opísanej kružnice: R = 11,53303431083
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[4,97882608696; 8,67327688032]
Ťažisko: T[9,32660869565; 2,89109229344]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -0,83659498753]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,76436543863]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,30113126868° = 154°18'5″ = 0,44985267071 rad
∠ B' = β' = 119,85662789904° = 119°51'23″ = 1,0549705956 rad
∠ C' = γ' = 85,84224083228° = 85°50'33″ = 1,64333599905 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=20 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+20+23=53
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=253=26,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26,5(26,5−10)(26,5−20)(26,5−23) S=9947,44=99,74
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 99,74=19,95 vb=b2 S=202⋅ 99,74=9,97 vc=c2 S=232⋅ 99,74=8,67
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 23202+232−102)=25°41′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 23102+232−202)=60°8′37" γ=180°−α−β=180°−25°41′55"−60°8′37"=94°9′27"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=26,599,74=3,76
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,764⋅ 26,510⋅ 20⋅ 23=11,53
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 232−102=20,964 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 102−202=14,646 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 202−232=10,851
Vypočítať ďaľší trojuholník