Trojuholník 10 24 25




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10   b = 24   c = 25

Obsah trojuholníka: S = 119,32107337389
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5

Uhol ∠ A = α = 23,43767071991° = 23°26'12″ = 0,40990477064 rad
Uhol ∠ B = β = 72,66224819825° = 72°39'45″ = 1,26881995533 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,90108108185° = 83°54'3″ = 1,46443453939 rad

Výška trojuholníka: va = 23,86441467478
Výška trojuholníka: vb = 9,94333944782
Výška trojuholníka: vc = 9,54656586991

Ťažnica: ta = 23,99895810718
Ťažnica: tb = 14,78217454991
Ťažnica: tc = 13,48114687627

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,04547706352
Polomer opísanej kružnice: R = 12,57111597054

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[2,98; 9,54656586991]
Ťažisko: T[9,32766666667; 3,1821886233]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 1,33656857187]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 4,04547706352]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 156,56332928009° = 156°33'48″ = 0,40990477064 rad
∠ B' = β' = 107,33875180175° = 107°20'15″ = 1,26881995533 rad
∠ C' = γ' = 96,09991891815° = 96°5'57″ = 1,46443453939 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=24 c=25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=10+24+25=59

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=259=29,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=29,5(29,510)(29,524)(29,525) S=14237,44=119,32

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=102 119,32=23,86 vb=b2 S=242 119,32=9,94 vc=c2 S=252 119,32=9,55

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 24 25242+252102)=23°2612"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 10 25102+252242)=72°3945" γ=180°αβ=180°23°2612"72°3945"=83°543"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=29,5119,32=4,04

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 4,045 29,510 24 25=12,57

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 242+2 252102=23,99 tb=22c2+2a2b2=22 252+2 102242=14,782 tc=22a2+2b2c2=22 102+2 242252=13,481

Vypočítať ďaľší trojuholník