Trojuholník 10 24 25
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 10 b = 24 c = 25Obsah trojuholníka: S = 119,32107337389
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5
Uhol ∠ A = α = 23,43767071991° = 23°26'12″ = 0,40990477064 rad
Uhol ∠ B = β = 72,66224819825° = 72°39'45″ = 1,26881995533 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,90108108185° = 83°54'3″ = 1,46443453939 rad
Výška trojuholníka: va = 23,86441467478
Výška trojuholníka: vb = 9,94333944782
Výška trojuholníka: vc = 9,54656586991
Ťažnica: ta = 23,99895810718
Ťažnica: tb = 14,78217454991
Ťažnica: tc = 13,48114687627
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,04547706352
Polomer opísanej kružnice: R = 12,57111597054
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[2,98; 9,54656586991]
Ťažisko: T[9,32766666667; 3,1821886233]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 1,33656857187]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 4,04547706352]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 156,56332928009° = 156°33'48″ = 0,40990477064 rad
∠ B' = β' = 107,33875180175° = 107°20'15″ = 1,26881995533 rad
∠ C' = γ' = 96,09991891815° = 96°5'57″ = 1,46443453939 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=10 b=24 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=10+24+25=59
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=259=29,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=29,5(29,5−10)(29,5−24)(29,5−25) S=14237,44=119,32
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 119,32=23,86 vb=b2 S=242⋅ 119,32=9,94 vc=c2 S=252⋅ 119,32=9,55
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 25242+252−102)=23°26′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 25102+252−242)=72°39′45" γ=180°−α−β=180°−23°26′12"−72°39′45"=83°54′3"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=29,5119,32=4,04
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,045⋅ 29,510⋅ 24⋅ 25=12,57
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 252−102=23,99 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 102−242=14,782 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 242−252=13,481
Vypočítať ďaľší trojuholník