Trojuholník 10 24 29

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 24 c = 29

Obsah trojuholníka: S = 112,68773440099
Obvod trojuholníka: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5

Uhol ∠ A = α = 18,89437495493° = 18°53'37″ = 0,33297581377 rad
Uhol ∠ B = β = 51,00107406628° = 51°3″ = 0,89901308455 rad
Uhol ∠ C = γ = 110,10655097879° = 110°6'20″ = 1,92217036704 rad

Výška trojuholníka: v_a = 22,5377468802
Výška trojuholníka: v_b = 9,39106120008
Výška trojuholníka: v_c = 7,77215409662

Ťažnica: t_a = 26,14438329248
Ťažnica: t_b = 18,06993109996
Ťažnica: t_c = 11,30326545555

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,57773760003
Polomer opísanej kružnice: R = 15,44109531548

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[6,29331034483; 7,77215409662]
Ťažisko: T[11,76443678161; 2,59105136554]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -5,3087827647]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 3,57773760003]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,10662504507° = 161°6'22″ = 0,33297581377 rad
∠ B' = β' = 128,99992593372° = 128°59'57″ = 0,89901308455 rad
∠ C' = γ' = 69,89444902121° = 69°53'40″ = 1,92217036704 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 24 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 24 + 29 = 63

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 3}{2} = 31, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 31, 5 (31, 5 - 10) (31, 5 - 24) (31, 5 - 29) S = 12698, 44 = 112, 69

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 2 , 6 9}{1 0} = 22, 54 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 2 , 6 9}{2 4} = 9, 39 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 2 , 6 9}{2 9} = 7, 77

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 9}) = 18 ° 5 3^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 9}) = 51 ° 3 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 5 3^{'} 37 " - 51 ° 3 " = 110 ° 6^{'} 20 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 2 , 6 9}{3 1 , 5} = 3, 58

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 4 \cdot 2 9}{4 \cdot 3 , 5 7 7 \cdot 3 1 , 5} = 15, 44

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 26, 144 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 18, 069 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 11, 303

Vypočítať ďaľší trojuholník