Trojuholník 10 24 30

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 10 b = 24 c = 30

Obsah trojuholníka: S = 106,13219932914
Obvod trojuholníka: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32

Uhol ∠ A = α = 17,14662099989° = 17°8'46″ = 0,29992578187 rad
Uhol ∠ B = β = 45,03656507165° = 45°2'8″ = 0,78660203858 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,81881392847° = 117°49'5″ = 2,05663144491 rad

Výška trojuholníka: v_a = 21,22663986583
Výška trojuholníka: v_b = 8,84443327743
Výška trojuholníka: v_c = 7,07554662194

Ťažnica: t_a = 26,70220598456
Ťažnica: t_b = 18,86879622641
Ťažnica: t_c = 10,63301458127

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,31766247904
Polomer opísanej kružnice: R = 16,96600131325

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[7,06766666667; 7,07554662194]
Ťažisko: T[12,35655555556; 2,35884887398]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -7,91546727952]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 3,31766247904]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,85437900011° = 162°51'14″ = 0,29992578187 rad
∠ B' = β' = 134,96443492836° = 134°57'52″ = 0,78660203858 rad
∠ C' = γ' = 62,18218607153° = 62°10'55″ = 2,05663144491 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 24 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 24 + 30 = 64

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 4}{2} = 32

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32 (32 - 10) (32 - 24) (32 - 30) S = 11264 = 106, 13

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 1 3}{1 0} = 21, 23 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 1 3}{2 4} = 8, 84 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 1 3}{3 0} = 7, 08

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 3 0}) = 17 ° 8^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 3 0}) = 45 ° 2^{'} 8 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 8^{'} 46 " - 45 ° 2^{'} 8 " = 117 ° 4 9^{'} 5 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 6 , 1 3}{3 2} = 3, 32

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 4 \cdot 3 0}{4 \cdot 3 , 3 1 7 \cdot 3 2} = 16, 96

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 26, 702 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 18, 868 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 10, 63

Vypočítať ďaľší trojuholník