Trojuholník SSU
Trojuholník má dve riešenia, strana c=161.43656881139 a c=11.7699392643
#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 100 b = 90 c = 161,43656881139Obsah trojuholníka: S = 4035,89222028481
Obvod trojuholníka: o = 351,43656881139
Semiperimeter (poloobvod): s = 175,7187844057
Uhol ∠ A = α = 33,74989885959° = 33°44'56″ = 0,58990309702 rad
Uhol ∠ B = β = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,25110114041° = 116°15'4″ = 2,02989629078 rad
Výška trojuholníka: va = 80,7187844057
Výška trojuholníka: vb = 89,68664933966
Výška trojuholníka: vc = 50
Ťažnica: ta = 120,75107378794
Ťažnica: tb = 126,51437964746
Ťažnica: tc = 50,34551055297
Polomer vpísanej kružnice: r = 22,9688027092
Polomer opísanej kružnice: R = 90
Súradnice vrcholov: A[161,43656881139; 0] B[0; 0] C[86,60325403784; 50]
Ťažisko: T[82,67994094975; 16,66766666667]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[80,7187844057; -39,80774069841]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[85,7187844057; 22,9688027092]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,25110114041° = 146°15'4″ = 0,58990309702 rad
∠ B' = β' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ C' = γ' = 63,74989885959° = 63°44'56″ = 2,02989629078 rad
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).1. Kosínusová veta
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=100 b=90 c=161,44
2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=100+90+161,44=351,44
3. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2351,44=175,72
4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.7. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.8. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.9. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 100 b = 90 c = 11,7699392643Obsah trojuholníka: S = 294,23548160741
Obvod trojuholníka: o = 201,7699392643
Semiperimeter (poloobvod): s = 100,88546963215
Uhol ∠ A = α = 146,25110114041° = 146°15'4″ = 2,55325616834 rad
Uhol ∠ B = β = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ C = γ = 3,74989885959° = 3°44'56″ = 0,06554321946 rad
Výška trojuholníka: va = 5,88546963215
Výška trojuholníka: vb = 6,53985514683
Výška trojuholníka: vc = 50
Ťažnica: ta = 40,2440021143
Ťažnica: tb = 55,17548067653
Ťažnica: tc = 94,94993041007
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,91765455892
Polomer opísanej kružnice: R = 90
Súradnice vrcholov: A[11,7699392643; 0] B[0; 0] C[86,60325403784; 50]
Ťažisko: T[32,79106443405; 16,66766666667]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,88546963215; 89,80774069841]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,88546963215; 2,91765455892]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 33,74989885959° = 33°44'56″ = 2,55325616834 rad
∠ B' = β' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ C' = γ' = 176,25110114041° = 176°15'4″ = 0,06554321946 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).1. Kosínusová veta
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=100 b=90 c=11,77
2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=100+90+11,77=201,77
3. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2201,77=100,88
4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.7. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.8. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.9. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 902+2⋅ 11,772−1002=40,24 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 11,772+2⋅ 1002−902=55,175 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1002+2⋅ 902−11,772=94,949
Vypočítať ďaľší trojuholník