Trojuholník 11 11 14
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 11 b = 11 c = 14Obsah trojuholníka: S = 59,39769696197
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Uhol ∠ A = α = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Uhol ∠ B = β = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,04223927173° = 79°2'33″ = 1,38795500016 rad
Výška trojuholníka: va = 10,79994490218
Výška trojuholníka: vb = 10,79994490218
Výška trojuholníka: vc = 8,48552813742
Ťažnica: ta = 11,32547516529
Ťažnica: tb = 11,32547516529
Ťažnica: tc = 8,48552813742
Polomer vpísanej kružnice: r = 3.32998316455
Polomer opísanej kružnice: R = 7,1329993377
Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[7; 8,48552813742]
Ťažisko: T[7; 2,82884271247]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; 1,35552879973]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3.32998316455]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ B' = β' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ C' = γ' = 100,95876072827° = 100°57'27″ = 1,38795500016 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=11 c=14
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+11+14=36
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−11)(18−11)(18−14) S=3528=59,4
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 59,4=10,8 vb=b2 S=112⋅ 59,4=10,8 vc=c2 S=142⋅ 59,4=8,49
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 14112+142−112)=50°28′44" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 14112+142−112)=50°28′44" γ=180°−α−β=180°−50°28′44"−50°28′44"=79°2′33"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1859,4=3,3
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,3⋅ 1811⋅ 11⋅ 14=7,13
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 142−112=11,325 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 112−112=11,325 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 112−142=8,485
Vypočítať ďaľší trojuholník