Trojuholník 11 11 15
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 11 b = 11 c = 15Obsah trojuholníka: S = 60,35105385229
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Uhol ∠ A = α = 47,01441139198° = 47°51″ = 0,82105510828 rad
Uhol ∠ B = β = 47,01441139198° = 47°51″ = 0,82105510828 rad
Uhol ∠ C = γ = 85,97217721604° = 85°58'18″ = 1.5500490488 rad
Výška trojuholníka: va = 10,9732825186
Výška trojuholníka: vb = 10,9732825186
Výška trojuholníka: vc = 8,04767384697
Ťažnica: ta = 11,94878031453
Ťažnica: tb = 11,94878031453
Ťažnica: tc = 8,04767384697
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,26221912715
Polomer opísanej kružnice: R = 7,51985741686
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[7,5; 8,04767384697]
Ťažisko: T[7,5; 2,68222461566]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 0,52881643011]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 3,26221912715]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,98658860802° = 132°59'9″ = 0,82105510828 rad
∠ B' = β' = 132,98658860802° = 132°59'9″ = 0,82105510828 rad
∠ C' = γ' = 94,02882278396° = 94°1'42″ = 1.5500490488 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=11 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+11+15=37
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−11)(18,5−11)(18,5−15) S=3642,19=60,35
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 60,35=10,97 vb=b2 S=112⋅ 60,35=10,97 vc=c2 S=152⋅ 60,35=8,05
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 15112+152−112)=47°51" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 15112+152−112)=47°51" γ=180°−α−β=180°−47°51"−47°51"=85°58′18"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=18,560,35=3,26
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,262⋅ 18,511⋅ 11⋅ 15=7,52
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 152−112=11,948 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 112−112=11,948 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 112−152=8,047
Vypočítať ďaľší trojuholník