Trojuholník 11 11 20




Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 11   b = 11   c = 20

Obsah trojuholníka: S = 45,82657569496
Obvod trojuholníka: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Uhol ∠ A = α = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Uhol ∠ B = β = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Uhol ∠ C = γ = 130,76600453427° = 130°45'36″ = 2,28221933213 rad

Výška trojuholníka: va = 8,3321955809
Výška trojuholníka: vb = 8,3321955809
Výška trojuholníka: vc = 4,5832575695

Ťažnica: ta = 15,17439909055
Ťažnica: tb = 15,17439909055
Ťažnica: tc = 4,5832575695

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,18221789024
Polomer opísanej kružnice: R = 13,20221823593

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[10; 4,5832575695]
Ťažisko: T[10; 1,52875252317]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -8,62196066643]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 2,18221789024]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ B' = β' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ C' = γ' = 49,24399546573° = 49°14'24″ = 2,28221933213 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=11 c=20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=11+11+20=42

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=242=21

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=21(2111)(2111)(2120) S=2100=45,83

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=112 45,83=8,33 vb=b2 S=112 45,83=8,33 vc=c2 S=202 45,83=4,58

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 11 20112+202112)=24°3712"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 11 20112+202112)=24°3712" γ=180°αβ=180°24°3712"24°3712"=130°4536"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=2145,83=2,18

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,182 2111 11 20=13,2

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 112+2 202112=15,174 tb=22c2+2a2b2=22 202+2 112112=15,174 tc=22a2+2b2c2=22 112+2 112202=4,583

Vypočítať ďaľší trojuholník