Trojuholník 11 11 20
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 11 b = 11 c = 20Obsah trojuholníka: S = 45,82657569496
Obvod trojuholníka: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21
Uhol ∠ A = α = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Uhol ∠ B = β = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Uhol ∠ C = γ = 130,76600453427° = 130°45'36″ = 2,28221933213 rad
Výška trojuholníka: va = 8,3321955809
Výška trojuholníka: vb = 8,3321955809
Výška trojuholníka: vc = 4,5832575695
Ťažnica: ta = 15,17439909055
Ťažnica: tb = 15,17439909055
Ťažnica: tc = 4,5832575695
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,18221789024
Polomer opísanej kružnice: R = 13,20221823593
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[10; 4,5832575695]
Ťažisko: T[10; 1,52875252317]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -8,62196066643]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 2,18221789024]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ B' = β' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ C' = γ' = 49,24399546573° = 49°14'24″ = 2,28221933213 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=11 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+11+20=42
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=242=21
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21(21−11)(21−11)(21−20) S=2100=45,83
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 45,83=8,33 vb=b2 S=112⋅ 45,83=8,33 vc=c2 S=202⋅ 45,83=4,58
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 20112+202−112)=24°37′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 20112+202−112)=24°37′12" γ=180°−α−β=180°−24°37′12"−24°37′12"=130°45′36"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2145,83=2,18
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,182⋅ 2111⋅ 11⋅ 20=13,2
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 202−112=15,174 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 112−112=15,174 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 112−202=4,583
Vypočítať ďaľší trojuholník