Trojuholník 11 11 21

Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 11 b = 11 c = 21

Obsah trojuholníka: S = 34,42765522526
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Uhol ∠ A = α = 17,34114428028° = 17°20'29″ = 0,3032665274 rad
Uhol ∠ B = β = 17,34114428028° = 17°20'29″ = 0,3032665274 rad
Uhol ∠ C = γ = 145,31771143945° = 145°19'2″ = 2,53662621057 rad

Výška trojuholníka: v_a = 6,25993731368
Výška trojuholníka: v_b = 6,25993731368
Výška trojuholníka: v_c = 3,27987192622

Ťažnica: t_a = 15,83550876221
Ťažnica: t_b = 15,83550876221
Ťažnica: t_c = 3,27987192622

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,60112349885
Polomer opísanej kružnice: R = 18,45223270102

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[10,5; 3,27987192622]
Ťažisko: T[10,5; 1,09329064207]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -15,17436077481]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 1,60112349885]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,65985571972° = 162°39'31″ = 0,3032665274 rad
∠ B' = β' = 162,65985571972° = 162°39'31″ = 0,3032665274 rad
∠ C' = γ' = 34,68328856055° = 34°40'58″ = 2,53662621057 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11 b = 11 c = 21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 11 + 11 + 21 = 43

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 11) (21, 5 - 11) (21, 5 - 21) S = 1185, 19 = 34, 43

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 4 , 4 3}{1 1} = 6, 26 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 4 , 4 3}{1 1} = 6, 26 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 4 , 4 3}{2 1} = 3, 28

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 1}) = 17 ° 2 0^{'} 29 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 1}) = 17 ° 2 0^{'} 29 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 2 0^{'} 29 " - 17 ° 2 0^{'} 29 " = 145 ° 1 9^{'} 2 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 4 , 4 3}{2 1 , 5} = 1, 6

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 1 \cdot 2 1}{4 \cdot 1 , 6 0 1 \cdot 2 1 , 5} = 18, 45

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 15, 835 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 15, 835 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 3, 279

Vypočítať ďaľší trojuholník