Trojuholník 11 12 13




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 11   b = 12   c = 13

Obsah trojuholníka: S = 61,48217045958
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18

Uhol ∠ A = α = 52,02201275551° = 52°1'12″ = 0,90879225031 rad
Uhol ∠ B = β = 59,30435587084° = 59°18'13″ = 1,03550423576 rad
Uhol ∠ C = γ = 68,67663137365° = 68°40'35″ = 1,19986277928 rad

Výška trojuholníka: va = 11,17884917447
Výška trojuholníka: vb = 10,2476950766
Výška trojuholníka: vc = 9,4598723784

Ťažnica: ta = 11,23661025271
Ťažnica: tb = 10,44403065089
Ťažnica: tc = 9,5

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,41656502553
Polomer opísanej kružnice: R = 6,97876855216

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[5,61553846154; 9,4598723784]
Ťažisko: T[6,20551282051; 3,1532907928]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 2,53773401897]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,41656502553]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 127,98798724449° = 127°58'48″ = 0,90879225031 rad
∠ B' = β' = 120,69664412917° = 120°41'47″ = 1,03550423576 rad
∠ C' = γ' = 111,32436862635° = 111°19'25″ = 1,19986277928 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=12 c=13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=11+12+13=36

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=236=18

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=18(1811)(1812)(1813) S=3780=61,48

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=112 61,48=11,18 vb=b2 S=122 61,48=10,25 vc=c2 S=132 61,48=9,46

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 12 13122+132112)=52°112"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 11 13112+132122)=59°1813" γ=180°αβ=180°52°112"59°1813"=68°4035"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1861,48=3,42

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3,416 1811 12 13=6,98

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 122+2 132112=11,236 tb=22c2+2a2b2=22 132+2 112122=10,44 tc=22a2+2b2c2=22 112+2 122132=9,5

Vypočítať ďaľší trojuholník