Trojuholník 11 12 13
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 11 b = 12 c = 13Obsah trojuholníka: S = 61,48217045958
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Uhol ∠ A = α = 52,02201275551° = 52°1'12″ = 0,90879225031 rad
Uhol ∠ B = β = 59,30435587084° = 59°18'13″ = 1,03550423576 rad
Uhol ∠ C = γ = 68,67663137365° = 68°40'35″ = 1,19986277928 rad
Výška trojuholníka: va = 11,17884917447
Výška trojuholníka: vb = 10,2476950766
Výška trojuholníka: vc = 9,4598723784
Ťažnica: ta = 11,23661025271
Ťažnica: tb = 10,44403065089
Ťažnica: tc = 9,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,41656502553
Polomer opísanej kružnice: R = 6,97876855216
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[5,61553846154; 9,4598723784]
Ťažisko: T[6,20551282051; 3,1532907928]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 2,53773401897]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,41656502553]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 127,98798724449° = 127°58'48″ = 0,90879225031 rad
∠ B' = β' = 120,69664412917° = 120°41'47″ = 1,03550423576 rad
∠ C' = γ' = 111,32436862635° = 111°19'25″ = 1,19986277928 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=12 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+12+13=36
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−11)(18−12)(18−13) S=3780=61,48
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 61,48=11,18 vb=b2 S=122⋅ 61,48=10,25 vc=c2 S=132⋅ 61,48=9,46
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 13122+132−112)=52°1′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 13112+132−122)=59°18′13" γ=180°−α−β=180°−52°1′12"−59°18′13"=68°40′35"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1861,48=3,42
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,416⋅ 1811⋅ 12⋅ 13=6,98
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 132−112=11,236 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 112−122=10,44 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 122−132=9,5
Vypočítať ďaľší trojuholník