Trojuholník 11 12 17

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 11 b = 12 c = 17

Obsah trojuholníka: S = 65,72767069006
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Uhol ∠ A = α = 40,11991668984° = 40°7'9″ = 0.77002115555 rad
Uhol ∠ B = β = 44,66549245311° = 44°39'54″ = 0,78795499932 rad
Uhol ∠ C = γ = 95,21659085705° = 95°12'57″ = 1,66218311048 rad

Výška trojuholníka: v_a = 11,95503103456
Výška trojuholníka: v_b = 10,95444511501
Výška trojuholníka: v_c = 7,7332553753

Ťažnica: t_a = 13,6477344064
Ťažnica: t_b = 13
Ťažnica: t_c = 7,76220873481

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,2866335345
Polomer opísanej kružnice: R = 8,53553431878

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[7,82435294118; 7,7332553753]
Ťažisko: T[8,27545098039; 2,57875179177]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -0,77659402898]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 3,2866335345]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,88108331016° = 139°52'51″ = 0.77002115555 rad
∠ B' = β' = 135,33550754689° = 135°20'6″ = 0,78795499932 rad
∠ C' = γ' = 84,78440914295° = 84°47'3″ = 1,66218311048 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11 b = 12 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 11 + 12 + 17 = 40

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0}{2} = 20

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20 (20 - 11) (20 - 12) (20 - 17) S = 4320 = 65, 73

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 5 , 7 3}{1 1} = 11, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 5 , 7 3}{1 2} = 10, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 5 , 7 3}{1 7} = 7, 73

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 7}) = 40 ° 7^{'} 9 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 7}) = 44 ° 3 9^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 7^{'} 9 " - 44 ° 3 9^{'} 54 " = 95 ° 1 2^{'} 57 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 5 , 7 3}{2 0} = 3, 29

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 2 \cdot 1 7}{4 \cdot 3 , 2 8 6 \cdot 2 0} = 8, 54

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 13, 647 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 13 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 7, 762

Vypočítať ďaľší trojuholník