Trojuholník 11 13 16




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 11   b = 13   c = 16

Obsah trojuholníka: S = 70,99329573972
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Uhol ∠ A = α = 43,04990798002° = 43°2'57″ = 0,75113481825 rad
Uhol ∠ B = β = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 0,93986110781 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,17224668196° = 83°10'21″ = 1,4521633393 rad

Výška trojuholníka: va = 12,90878104359
Výška trojuholníka: vb = 10,92219934457
Výška trojuholníka: vc = 8,87441196746

Ťažnica: ta = 13,5
Ťažnica: tb = 12,09333866224
Ťažnica: tc = 9

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,55496478699
Polomer opísanej kružnice: R = 8,05771372284

Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[6,5; 8,87441196746]
Ťažisko: T[7,5; 2,95880398915]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; 0,95878414887]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,55496478699]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 136,95109201998° = 136°57'3″ = 0,75113481825 rad
∠ B' = β' = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 0,93986110781 rad
∠ C' = γ' = 96,82875331804° = 96°49'39″ = 1,4521633393 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=13 c=16

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=11+13+16=40

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=240=20

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=20(2011)(2013)(2016) S=5040=70,99

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=112 70,99=12,91 vb=b2 S=132 70,99=10,92 vc=c2 S=162 70,99=8,87

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 13 16132+162112)=43°257"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 11 16112+162132)=53°4642" γ=180°αβ=180°43°257"53°4642"=83°1021"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=2070,99=3,55

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3,55 2011 13 16=8,06

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 132+2 162112=13,5 tb=22c2+2a2b2=22 162+2 112132=12,093 tc=22a2+2b2c2=22 112+2 132162=9

Vypočítať ďaľší trojuholník