Trojuholník 11 13 16
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 11 b = 13 c = 16Obsah trojuholníka: S = 70,99329573972
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20
Uhol ∠ A = α = 43,04990798002° = 43°2'57″ = 0,75113481825 rad
Uhol ∠ B = β = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 0,93986110781 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,17224668196° = 83°10'21″ = 1,4521633393 rad
Výška trojuholníka: va = 12,90878104359
Výška trojuholníka: vb = 10,92219934457
Výška trojuholníka: vc = 8,87441196746
Ťažnica: ta = 13,5
Ťažnica: tb = 12,09333866224
Ťažnica: tc = 9
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,55496478699
Polomer opísanej kružnice: R = 8,05771372284
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[6,5; 8,87441196746]
Ťažisko: T[7,5; 2,95880398915]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; 0,95878414887]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,55496478699]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 136,95109201998° = 136°57'3″ = 0,75113481825 rad
∠ B' = β' = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 0,93986110781 rad
∠ C' = γ' = 96,82875331804° = 96°49'39″ = 1,4521633393 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=13 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+13+16=40
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=240=20
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20(20−11)(20−13)(20−16) S=5040=70,99
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 70,99=12,91 vb=b2 S=132⋅ 70,99=10,92 vc=c2 S=162⋅ 70,99=8,87
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 16132+162−112)=43°2′57" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 16112+162−132)=53°46′42" γ=180°−α−β=180°−43°2′57"−53°46′42"=83°10′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2070,99=3,55
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,55⋅ 2011⋅ 13⋅ 16=8,06
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 162−112=13,5 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 112−132=12,093 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 132−162=9
Vypočítať ďaľší trojuholník