Trojuholník 11 14 15
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 11 b = 14 c = 15Obsah trojuholníka: S = 73,48546922835
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20
Uhol ∠ A = α = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Uhol ∠ B = β = 62,96443082106° = 62°57'52″ = 1,09989344895 rad
Uhol ∠ C = γ = 72,62203831922° = 72°37'13″ = 1,26774647908 rad
Výška trojuholníka: va = 13,36108531425
Výška trojuholníka: vb = 10,49878131834
Výška trojuholníka: vc = 9,79879589711
Ťažnica: ta = 13,42657215821
Ťažnica: tb = 11,13655287257
Ťažnica: tc = 10,11218742081
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,67442346142
Polomer opísanej kružnice: R = 7,85987795914
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[5; 9,79879589711]
Ťažisko: T[6,66766666667; 3,26659863237]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 2,34774276702]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,67442346142]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ B' = β' = 117,03656917894° = 117°2'8″ = 1,09989344895 rad
∠ C' = γ' = 107,38796168078° = 107°22'47″ = 1,26774647908 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=14 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+14+15=40
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=240=20
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20(20−11)(20−14)(20−15) S=5400=73,48
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 73,48=13,36 vb=b2 S=142⋅ 73,48=10,5 vc=c2 S=152⋅ 73,48=9,8
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 15142+152−112)=44°24′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 15112+152−142)=62°57′52" γ=180°−α−β=180°−44°24′55"−62°57′52"=72°37′13"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2073,48=3,67
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,674⋅ 2011⋅ 14⋅ 15=7,86
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 152−112=13,426 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 112−142=11,136 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 142−152=10,112
Vypočítať ďaľší trojuholník