Trojuholník 11 15 23

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 11 b = 15 c = 23

Obsah trojuholníka: S = 68,65326583608
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Uhol ∠ A = α = 23,45223604058° = 23°27'8″ = 0,40993209064 rad
Uhol ∠ B = β = 32,8688227068° = 32°52'6″ = 0,57436587816 rad
Uhol ∠ C = γ = 123,67994125263° = 123°40'46″ = 2,15986129655 rad

Výška trojuholníka: v_a = 12,48223015201
Výška trojuholníka: v_b = 9,15436877814
Výška trojuholníka: v_c = 5,97697963792

Ťažnica: t_a = 18,62112244495
Ťažnica: t_b = 16,39435963108
Ťažnica: t_c = 6,38435726674

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,80221493208
Polomer opísanej kružnice: R = 13,8219566826

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[9,23991304348; 5,97697963792]
Ťažisko: T[10,74663768116; 1,99899321264]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -7,66435779672]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 2,80221493208]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 156,54876395942° = 156°32'52″ = 0,40993209064 rad
∠ B' = β' = 147,1321772932° = 147°7'54″ = 0,57436587816 rad
∠ C' = γ' = 56,32105874737° = 56°19'14″ = 2,15986129655 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11 b = 15 c = 23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 11 + 15 + 23 = 49

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 11) (24, 5 - 15) (24, 5 - 23) S = 4713, 19 = 68, 65

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 8 , 6 5}{1 1} = 12, 48 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 8 , 6 5}{1 5} = 9, 15 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 8 , 6 5}{2 3} = 5, 97

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 3}) = 23 ° 2 7^{'} 8 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 3}) = 32 ° 5 2^{'} 6 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 23 ° 2 7^{'} 8 " - 32 ° 5 2^{'} 6 " = 123 ° 4 0^{'} 46 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 8 , 6 5}{2 4 , 5} = 2, 8

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 5 \cdot 2 3}{4 \cdot 2 , 8 0 2 \cdot 2 4 , 5} = 13, 82

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 18, 621 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 16, 394 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 6, 384

Vypočítať ďaľší trojuholník