Trojuholník 11 17 20

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 11 b = 17 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 93,46765715644
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Uhol ∠ A = α = 33,35435238375° = 33°21'13″ = 0,58221288081 rad
Uhol ∠ B = β = 58,17986314749° = 58°10'43″ = 1,01554086735 rad
Uhol ∠ C = γ = 88,46878446876° = 88°28'4″ = 1,54440551719 rad

Výška trojuholníka: v_a = 16,99439221026
Výška trojuholníka: v_b = 10,99660672429
Výška trojuholníka: v_c = 9,34766571564

Ťažnica: t_a = 17,72770979012
Ťažnica: t_b = 13,7220422734
Ťažnica: t_c = 10,2476950766

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,89444404818
Polomer opísanej kružnice: R = 10,00435765124

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[5,8; 9,34766571564]
Ťažisko: T[8,6; 3,11655523855]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 0,26774753078]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,89444404818]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,64664761625° = 146°38'47″ = 0,58221288081 rad
∠ B' = β' = 121,82113685251° = 121°49'17″ = 1,01554086735 rad
∠ C' = γ' = 91,53221553124° = 91°31'56″ = 1,54440551719 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11 b = 17 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 11 + 17 + 20 = 48

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 8}{2} = 24

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24 (24 - 11) (24 - 17) (24 - 20) S = 8736 = 93, 47

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 3 , 4 7}{1 1} = 16, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 3 , 4 7}{1 7} = 11 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 3 , 4 7}{2 0} = 9, 35

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 0}) = 33 ° 2 1^{'} 13 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 0}) = 58 ° 1 0^{'} 43 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 2 1^{'} 13 " - 58 ° 1 0^{'} 43 " = 88 ° 2 8^{'} 4 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 3 , 4 7}{2 4} = 3, 89

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 7 \cdot 2 0}{4 \cdot 3 , 8 9 4 \cdot 2 4} = 10

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 17, 727 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 13, 72 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 10, 247

Vypočítať ďaľší trojuholník