Trojuholník 11 19 27

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 11 b = 19 c = 27

Obsah trojuholníka: S = 84,30441369092
Obvod trojuholníka: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Uhol ∠ A = α = 19,18881364537° = 19°11'17″ = 0,33548961584 rad
Uhol ∠ B = β = 34,59903169264° = 34°35'25″ = 0,60437149197 rad
Uhol ∠ C = γ = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 2,20329815755 rad

Výška trojuholníka: v_a = 15,32880248926
Výška trojuholníka: v_b = 8,87441196746
Výška trojuholníka: v_c = 6,24547508822

Ťažnica: t_a = 22,68881026091
Ťažnica: t_b = 18,29661744635
Ťažnica: t_c = 7,66548548584

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,95880398915
Polomer opísanej kružnice: R = 16,73440542436

Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[9,05655555556; 6,24547508822]
Ťažisko: T[12,01985185185; 2,08215836274]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; -9,88883047803]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 2,95880398915]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,81218635463° = 160°48'43″ = 0,33548961584 rad
∠ B' = β' = 145,41096830736° = 145°24'35″ = 0,60437149197 rad
∠ C' = γ' = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 2,20329815755 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11 b = 19 c = 27

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 11 + 19 + 27 = 57

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 11) (28, 5 - 19) (28, 5 - 27) S = 7107, 19 = 84, 3

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 4 , 3}{1 1} = 15, 33 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 4 , 3}{1 9} = 8, 87 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 4 , 3}{2 7} = 6, 24

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 ^{2} + 2 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 9 \cdot 2 7}) = 19 ° 1 1^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 7 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 7}) = 34 ° 3 5^{'} 25 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 1 1^{'} 17 " - 34 ° 3 5^{'} 25 " = 126 ° 1 3^{'} 18 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 4 , 3}{2 8 , 5} = 2, 96

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 9 \cdot 2 7}{4 \cdot 2 , 9 5 8 \cdot 2 8 , 5} = 16, 73

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 22, 688 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 18, 296 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 7, 665

Vypočítať ďaľší trojuholník