Trojuholník 11 20 21
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 11 b = 20 c = 21Obsah trojuholníka: S = 108,16765382639
Obvod trojuholníka: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26
Uhol ∠ A = α = 31,00327191339° = 31°10″ = 0,5411099526 rad
Uhol ∠ B = β = 69,47329625625° = 69°28'23″ = 1,21325319378 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,52443183036° = 79°31'28″ = 1,38879611898 rad
Výška trojuholníka: va = 19,66766433207
Výška trojuholníka: vb = 10,81766538264
Výška trojuholníka: vc = 10,30215750728
Ťažnica: ta = 19,75547462651
Ťažnica: tb = 13,45436240471
Ťažnica: tc = 12,25876506721
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,16602514717
Polomer opísanej kružnice: R = 10,67879787773
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[3,85771428571; 10,30215750728]
Ťažisko: T[8,28657142857; 3,43438583576]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; 1,94114506868]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 4,16602514717]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,99772808661° = 148°59'50″ = 0,5411099526 rad
∠ B' = β' = 110,52770374375° = 110°31'37″ = 1,21325319378 rad
∠ C' = γ' = 100,47656816964° = 100°28'32″ = 1,38879611898 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=20 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+20+21=52
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=252=26
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26(26−11)(26−20)(26−21) S=11700=108,17
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 108,17=19,67 vb=b2 S=202⋅ 108,17=10,82 vc=c2 S=212⋅ 108,17=10,3
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 21202+212−112)=31°10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 21112+212−202)=69°28′23" γ=180°−α−β=180°−31°10"−69°28′23"=79°31′28"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=26108,17=4,16
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,16⋅ 2611⋅ 20⋅ 21=10,68
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 212−112=19,755 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 112−202=13,454 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 202−212=12,258
Vypočítať ďaľší trojuholník