Trojuholník 11 20 23
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 11 b = 20 c = 23Obsah trojuholníka: S = 109,98218166789
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Uhol ∠ A = α = 28,56767204538° = 28°34' = 0,49985833284 rad
Uhol ∠ B = β = 60,39114806958° = 60°23'29″ = 1,05440301783 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,04217988505° = 91°2'30″ = 1,58989791469 rad
Výška trojuholníka: va = 19,99766939416
Výška trojuholníka: vb = 10,99881816679
Výška trojuholníka: vc = 9,5643636233
Ťažnica: ta = 20,83986659842
Ťažnica: tb = 15
Ťažnica: tc = 11,32547516529
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,07334006177
Polomer opísanej kružnice: R = 11,50219012979
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[5,43547826087; 9,5643636233]
Ťažisko: T[9,47882608696; 3,18878787443]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -0,20991254781]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 4,07334006177]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,43332795462° = 151°26' = 0,49985833284 rad
∠ B' = β' = 119,60985193042° = 119°36'31″ = 1,05440301783 rad
∠ C' = γ' = 88,95882011495° = 88°57'30″ = 1,58989791469 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=20 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+20+23=54
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−11)(27−20)(27−23) S=12096=109,98
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 109,98=20 vb=b2 S=202⋅ 109,98=11 vc=c2 S=232⋅ 109,98=9,56
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 23202+232−112)=28°34′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 23112+232−202)=60°23′29" γ=180°−α−β=180°−28°34′−60°23′29"=91°2′30"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=27109,98=4,07
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,073⋅ 2711⋅ 20⋅ 23=11,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 232−112=20,839 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 112−202=15 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 202−232=11,325
Vypočítať ďaľší trojuholník