Trojuholník 11 20 25
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 11 b = 20 c = 25Obsah trojuholníka: S = 106,88331137271
Obvod trojuholníka: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28
Uhol ∠ A = α = 25,31110651555° = 25°18'40″ = 0,44217614242 rad
Uhol ∠ B = β = 51,01769167401° = 51°1'1″ = 0,89904131713 rad
Uhol ∠ C = γ = 103,67220181044° = 103°40'19″ = 1,80994180581 rad
Výška trojuholníka: va = 19,43332934049
Výška trojuholníka: vb = 10,68883113727
Výška trojuholníka: vc = 8,55106490982
Ťažnica: ta = 21,9660191256
Ťažnica: tb = 16,52327116419
Ťažnica: tc = 10,21102889283
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,81772540617
Polomer opísanej kružnice: R = 12,86545204285
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[6,92; 8,55106490982]
Ťažisko: T[10,64; 2,85502163661]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -3,04107048285]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 3,81772540617]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,68989348445° = 154°41'20″ = 0,44217614242 rad
∠ B' = β' = 128,98330832599° = 128°58'59″ = 0,89904131713 rad
∠ C' = γ' = 76,32879818956° = 76°19'41″ = 1,80994180581 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=11 b=20 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=11+20+25=56
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=256=28
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28(28−11)(28−20)(28−25) S=11424=106,88
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 106,88=19,43 vb=b2 S=202⋅ 106,88=10,69 vc=c2 S=252⋅ 106,88=8,55
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 25202+252−112)=25°18′40" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 25112+252−202)=51°1′1" γ=180°−α−β=180°−25°18′40"−51°1′1"=103°40′19"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=28106,88=3,82
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,817⋅ 2811⋅ 20⋅ 25=12,86
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 252−112=21,96 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 112−202=16,523 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 202−252=10,21
Vypočítať ďaľší trojuholník