Trojuholník 11 21 30

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 11 b = 21 c = 30

Obsah trojuholníka: S = 78,74400787401
Obvod trojuholníka: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31

Uhol ∠ A = α = 14,47656484197° = 14°28'32″ = 0,25326477263 rad
Uhol ∠ B = β = 28,50435101171° = 28°30'13″ = 0,49774800999 rad
Uhol ∠ C = γ = 137,02108414632° = 137°1'15″ = 2,39114648274 rad

Výška trojuholníka: v_a = 14,31663779527
Výška trojuholníka: v_b = 7,49990551181
Výška trojuholníka: v_c = 5,24993385827

Ťažnica: t_a = 25,30331618578
Ťažnica: t_b = 20,00662490237
Ťažnica: t_c = 7,48333147735

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,544000254
Polomer opísanej kružnice: R = 22,00327720028

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[9,66766666667; 5,24993385827]
Ťažisko: T[13,22222222222; 1,75497795276]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -16,09772660973]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 2,544000254]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,52443515803° = 165°31'28″ = 0,25326477263 rad
∠ B' = β' = 151,49664898829° = 151°29'47″ = 0,49774800999 rad
∠ C' = γ' = 42,97991585368° = 42°58'45″ = 2,39114648274 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11 b = 21 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 2}{2} = 31

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 3 0}) = 14 ° 2 8^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 3 0}) = 28 ° 3 0^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 2 8^{'} 32 " - 28 ° 3 0^{'} 13 " = 137 ° 1^{'} 15 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 2 1 \cdot 3 0}{4 \cdot 2 , 5 4 \cdot 3 1} = 22

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník