Trojuholník 11 23 26

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 11 b = 23 c = 26

Obsah trojuholníka: S = 126,33328935788
Obvod trojuholníka: o = 60
Semiperimeter (poloobvod): s = 30

Uhol ∠ A = α = 24,99436641747° = 24°59'37″ = 0,4366221732 rad
Uhol ∠ B = β = 62,06109868645° = 62°3'40″ = 1,08331685578 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,94553489607° = 92°56'43″ = 1,62222023638 rad

Výška trojuholníka: v_a = 22,97696170143
Výška trojuholníka: v_b = 10,98554690069
Výška trojuholníka: v_c = 9,71879148907

Ťažnica: t_a = 23,92217474278
Ťažnica: t_b = 16,31771688721
Ťažnica: t_c = 12,49899959968

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,21110964526
Polomer opísanej kružnice: R = 13,01771957074

Súradnice vrcholov: A[26; 0] B[0; 0] C[5,15438461538; 9,71879148907]
Ťažisko: T[10,38546153846; 3,23993049636]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13; -0,66988677636]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 4,21110964526]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,00663358253° = 155°23″ = 0,4366221732 rad
∠ B' = β' = 117,93990131355° = 117°56'20″ = 1,08331685578 rad
∠ C' = γ' = 87,05546510393° = 87°3'17″ = 1,62222023638 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 11 b = 23 c = 26

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 11 + 23 + 26 = 60

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 0}{2} = 30

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30 (30 - 11) (30 - 23) (30 - 26) S = 15960 = 126, 33

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 6 , 3 3}{1 1} = 22, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 6 , 3 3}{2 3} = 10, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 6 , 3 3}{2 6} = 9, 72

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 6}) = 24 ° 5 9^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 6}) = 62 ° 3^{'} 40 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 24 ° 5 9^{'} 37 " - 62 ° 3^{'} 40 " = 92 ° 5 6^{'} 43 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 6 , 3 3}{3 0} = 4, 21

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 2 3 \cdot 2 6}{4 \cdot 4 , 2 1 1 \cdot 3 0} = 13, 02

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 23, 922 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 16, 317 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 12, 49

Vypočítať ďaľší trojuholník