Trojuholník 12 12 18




Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 12   b = 12   c = 18

Obsah trojuholníka: S = 71,43552853987
Obvod trojuholníka: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Uhol ∠ A = α = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,6966124158 rad

Výška trojuholníka: va = 11,90658808998
Výška trojuholníka: vb = 11,90658808998
Výška trojuholníka: vc = 7,93772539332

Ťažnica: ta = 14,07112472795
Ťažnica: tb = 14,07112472795
Ťažnica: tc = 7,93772539332

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,40216802571
Polomer opísanej kružnice: R = 9,07111473522

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[9; 7,93772539332]
Ťažisko: T[9; 2,64657513111]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -1,1343893419]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 3,40216802571]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,6966124158 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=12 c=18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=12+12+18=42

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=242=21

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=21(2112)(2112)(2118) S=5103=71,44

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=122 71,44=11,91 vb=b2 S=122 71,44=11,91 vc=c2 S=182 71,44=7,94

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 12 18122+182122)=41°2435"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 12 18122+182122)=41°2435" γ=180°αβ=180°41°2435"41°2435"=97°1051"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=2171,44=3,4

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3,402 2112 12 18=9,07

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 122+2 182122=14,071 tb=22c2+2a2b2=22 182+2 122122=14,071 tc=22a2+2b2c2=22 122+2 122182=7,937

Vypočítať ďaľší trojuholník