Trojuholník 12 12 20
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 12 b = 12 c = 20Obsah trojuholníka: S = 66,33224958071
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Uhol ∠ A = α = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Uhol ∠ B = β = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Uhol ∠ C = γ = 112,88553804762° = 112°53'7″ = 1,97702215667 rad
Výška trojuholníka: va = 11,05554159679
Výška trojuholníka: vb = 11,05554159679
Výška trojuholníka: vc = 6,63332495807
Ťažnica: ta = 15,36222914957
Ťažnica: tb = 15,36222914957
Ťažnica: tc = 6,63332495807
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,01551134458
Polomer opísanej kružnice: R = 10,85444084048
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[10; 6,63332495807]
Ťažisko: T[10; 2,21110831936]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -4,22111588241]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 3,01551134458]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ B' = β' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ C' = γ' = 67,11546195238° = 67°6'53″ = 1,97702215667 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=12 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+12+20=44
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−12)(22−12)(22−20) S=4400=66,33
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 66,33=11,06 vb=b2 S=122⋅ 66,33=11,06 vc=c2 S=202⋅ 66,33=6,63
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 20122+202−122)=33°33′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 20122+202−122)=33°33′26" γ=180°−α−β=180°−33°33′26"−33°33′26"=112°53′7"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2266,33=3,02
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,015⋅ 2212⋅ 12⋅ 20=10,85
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 202−122=15,362 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 122−122=15,362 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 122−202=6,633
Vypočítať ďaľší trojuholník