Trojuholník 12 13 14

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12 b = 13 c = 14

Obsah trojuholníka: S = 72,30879352492
Obvod trojuholníka: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5

Uhol ∠ A = α = 52,61768015821° = 52°37' = 0,91883364295 rad
Uhol ∠ B = β = 59,40875112549° = 59°24'27″ = 1,03768566718 rad
Uhol ∠ C = γ = 67,9765687163° = 67°58'32″ = 1,18663995523 rad

Výška trojuholníka: v_a = 12,05113225415
Výška trojuholníka: v_b = 11,12442977306
Výška trojuholníka: v_c = 10,33297050356

Ťažnica: t_a = 12,10437184369
Ťažnica: t_b = 11,30326545555
Ťažnica: t_c = 10,36882206767

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,70880992435
Polomer opísanej kružnice: R = 7,55110384596

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[6,10771428571; 10,33297050356]
Ťažisko: T[6,70223809524; 3,44332350119]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; 2,83216394223]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,70880992435]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 127,38331984179° = 127°23' = 0,91883364295 rad
∠ B' = β' = 120,59224887451° = 120°35'33″ = 1,03768566718 rad
∠ C' = γ' = 112,0244312837° = 112°1'28″ = 1,18663995523 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 13 c = 14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 13 + 14 = 39

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9}{2} = 19, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19, 5 (19, 5 - 12) (19, 5 - 13) (19, 5 - 14) S = 5228, 44 = 72, 31

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 1}{1 2} = 12, 05 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 1}{1 3} = 11, 12 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 1}{1 4} = 10, 33

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 4}) = 52 ° 3 7^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 4}) = 59 ° 2 4^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 52 ° 3 7^{'} - 59 ° 2 4^{'} 27 " = 67 ° 5 8^{'} 32 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 2 , 3 1}{1 9 , 5} = 3, 71

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 3 \cdot 1 4}{4 \cdot 3 , 7 0 8 \cdot 1 9 , 5} = 7, 55

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 12, 104 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 11, 303 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 10, 368

Vypočítať ďaľší trojuholník