Trojuholník 12 13 15

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12 b = 13 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 74,83331477355
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Uhol ∠ A = α = 50,132165845° = 50°7'54″ = 0,87549624994 rad
Uhol ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Uhol ∠ C = γ = 73,61773301459° = 73°37'2″ = 1,28548647976 rad

Výška trojuholníka: v_a = 12,47221912892
Výška trojuholníka: v_b = 11,51327919593
Výška trojuholníka: v_c = 9,97877530314

Ťažnica: t_a = 12,68985775404
Ťažnica: t_b = 11,92768604419
Ťažnica: t_c = 10,01224921973

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,74216573868
Polomer opísanej kružnice: R = 7,81773913259

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[6,66766666667; 9,97877530314]
Ťažisko: T[7,22222222222; 3,32659176771]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 2,20549052458]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,74216573868]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,868834155° = 129°52'6″ = 0,87549624994 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 106,38326698541° = 106°22'58″ = 1,28548647976 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 13 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 13 + 15 = 40

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0}{2} = 20

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20 (20 - 12) (20 - 13) (20 - 15) S = 5600 = 74, 83

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 4 , 8 3}{1 2} = 12, 47 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 4 , 8 3}{1 3} = 11, 51 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 4 , 8 3}{1 5} = 9, 98

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 5}) = 50 ° 7^{'} 54 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 5}) = 56 ° 1 5^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 50 ° 7^{'} 54 " - 56 ° 1 5^{'} 4 " = 73 ° 3 7^{'} 2 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 4 , 8 3}{2 0} = 3, 74

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 3 \cdot 1 5}{4 \cdot 3 , 7 4 2 \cdot 2 0} = 7, 82

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 12, 689 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 11, 927 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 10, 012

Vypočítať ďaľší trojuholník