Trojuholník 12 13 21




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12   b = 13   c = 21

Obsah trojuholníka: S = 71,13436769751
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Uhol ∠ A = α = 31,40878008669° = 31°24'28″ = 0,54881695359 rad
Uhol ∠ B = β = 34,37112560241° = 34°22'17″ = 0.65998915857 rad
Uhol ∠ C = γ = 114,2210943109° = 114°13'15″ = 1,9943531532 rad

Výška trojuholníka: va = 11,85656128292
Výška trojuholníka: vb = 10,94436426116
Výška trojuholníka: vc = 6,77546359024

Ťažnica: ta = 16,40112194669
Ťažnica: tb = 15,81992920196
Ťažnica: tc = 6,80107352544

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,09327685641
Polomer opísanej kružnice: R = 11,51435338819

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[9,90547619048; 6,77546359024]
Ťažisko: T[10,30215873016; 2,25882119675]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -4,72435010798]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 3,09327685641]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,59221991331° = 148°35'32″ = 0,54881695359 rad
∠ B' = β' = 145,62987439759° = 145°37'43″ = 0.65998915857 rad
∠ C' = γ' = 65,7799056891° = 65°46'45″ = 1,9943531532 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=13 c=21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=12+13+21=46

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=246=23

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=23(2312)(2313)(2321) S=5060=71,13

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=122 71,13=11,86 vb=b2 S=132 71,13=10,94 vc=c2 S=212 71,13=6,77

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 13 21132+212122)=31°2428"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 12 21122+212132)=34°2217" γ=180°αβ=180°31°2428"34°2217"=114°1315"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=2371,13=3,09

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3,093 2312 13 21=11,51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 132+2 212122=16,401 tb=22c2+2a2b2=22 212+2 122132=15,819 tc=22a2+2b2c2=22 122+2 132212=6,801

Vypočítať ďaľší trojuholník