Trojuholník 12 13 24
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 12 b = 13 c = 24Obsah trojuholníka: S = 41,9643525829
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5
Uhol ∠ A = α = 15,60545888784° = 15°36'17″ = 0,27223514543 rad
Uhol ∠ B = β = 16,94325916094° = 16°56'33″ = 0,29657040074 rad
Uhol ∠ C = γ = 147,45328195121° = 147°27'10″ = 2,57435371918 rad
Výška trojuholníka: va = 6,99439209715
Výška trojuholníka: vb = 6,45659270506
Výška trojuholníka: vc = 3,49769604857
Ťažnica: ta = 18,34439363278
Ťažnica: tb = 17,826554347
Ťažnica: tc = 3,53655339059
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,71327969726
Polomer opísanej kružnice: R = 22,30550847494
Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[11,47991666667; 3,49769604857]
Ťažisko: T[11,82663888889; 1,16656534952]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -18,80220425933]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 1,71327969726]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,39554111216° = 164°23'43″ = 0,27223514543 rad
∠ B' = β' = 163,05774083906° = 163°3'27″ = 0,29657040074 rad
∠ C' = γ' = 32,54771804879° = 32°32'50″ = 2,57435371918 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=13 c=24
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+13+24=49
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=249=24,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24,5(24,5−12)(24,5−13)(24,5−24) S=1760,94=41,96
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 41,96=6,99 vb=b2 S=132⋅ 41,96=6,46 vc=c2 S=242⋅ 41,96=3,5
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 24132+242−122)=15°36′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 24122+242−132)=16°56′33" γ=180°−α−β=180°−15°36′17"−16°56′33"=147°27′10"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=24,541,96=1,71
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,713⋅ 24,512⋅ 13⋅ 24=22,31
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 242−122=18,344 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 122−132=17,826 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 132−242=3,536
Vypočítať ďaľší trojuholník