Trojuholník 12 14 21
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 12 b = 14 c = 21Obsah trojuholníka: S = 80,11551515008
Obvod trojuholníka: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5
Uhol ∠ A = α = 33,02547340605° = 33°1'29″ = 0,5766390344 rad
Uhol ∠ B = β = 39,48219079378° = 39°28'55″ = 0,68990892885 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,49333580017° = 107°29'36″ = 1,87661130212 rad
Výška trojuholníka: va = 13,35325252501
Výška trojuholníka: vb = 11,4455021643
Výška trojuholníka: vc = 7,63300144286
Ťažnica: ta = 16,8087736314
Ťažnica: tb = 15,60444865343
Ťažnica: tc = 7,73298124169
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,4099155383
Polomer opísanej kružnice: R = 11,00991534932
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[9,26219047619; 7,63300144286]
Ťažisko: T[10,08773015873; 2,54333381429]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -3,30992991155]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 3,4099155383]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,97552659395° = 146°58'31″ = 0,5766390344 rad
∠ B' = β' = 140,51880920622° = 140°31'5″ = 0,68990892885 rad
∠ C' = γ' = 72,50766419983° = 72°30'24″ = 1,87661130212 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=14 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+14+21=47
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=247=23,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23,5(23,5−12)(23,5−14)(23,5−21) S=6418,44=80,12
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 80,12=13,35 vb=b2 S=142⋅ 80,12=11,45 vc=c2 S=212⋅ 80,12=7,63
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 21142+212−122)=33°1′29" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 21122+212−142)=39°28′55" γ=180°−α−β=180°−33°1′29"−39°28′55"=107°29′36"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=23,580,12=3,41
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,409⋅ 23,512⋅ 14⋅ 21=11,01
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 212−122=16,808 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 122−142=15,604 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 142−212=7,73
Vypočítať ďaľší trojuholník