Trojuholník 12 15 22
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 12 b = 15 c = 22Obsah trojuholníka: S = 85,28444505171
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5
Uhol ∠ A = α = 31,12328957773° = 31°7'22″ = 0,54331970041 rad
Uhol ∠ B = β = 40,2487773648° = 40°14'52″ = 0,70224561668 rad
Uhol ∠ C = γ = 108,62993305747° = 108°37'46″ = 1,89659394828 rad
Výška trojuholníka: va = 14,21440750862
Výška trojuholníka: vb = 11,37112600689
Výška trojuholníka: vc = 7,75331318652
Ťažnica: ta = 17,84765682976
Ťažnica: tb = 16,0554594358
Ťažnica: tc = 7,96986887253
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,48109979803
Polomer opísanej kružnice: R = 11,60882122122
Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[9,15990909091; 7,75331318652]
Ťažisko: T[10,38663636364; 2,58443772884]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -3,70881789011]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 3,48109979803]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,87771042227° = 148°52'38″ = 0,54331970041 rad
∠ B' = β' = 139,7522226352° = 139°45'8″ = 0,70224561668 rad
∠ C' = γ' = 71,37106694253° = 71°22'14″ = 1,89659394828 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=15 c=22
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=249=24,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24,5(24,5−12)(24,5−15)(24,5−22) S=7273,44=85,28
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 85,28=14,21 vb=b2 S=152⋅ 85,28=11,37 vc=c2 S=222⋅ 85,28=7,75
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 22152+222−122)=31°7′22" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 22122+222−152)=40°14′52" γ=180°−α−β=180°−31°7′22"−40°14′52"=108°37′46"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=24,585,28=3,48
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,481⋅ 24,512⋅ 15⋅ 22=11,61
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 222−122=17,847 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 122−152=16,055 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 152−222=7,969
Vypočítať ďaľší trojuholník