Trojuholník 12 15 24
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 12 b = 15 c = 24Obsah trojuholníka: S = 73,63438067738
Obvod trojuholníka: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5
Uhol ∠ A = α = 24,14768479965° = 24°8'49″ = 0,42114420015 rad
Uhol ∠ B = β = 30,75435198081° = 30°45'13″ = 0,53767501772 rad
Uhol ∠ C = γ = 125.10996321954° = 125°5'59″ = 2,18334004748 rad
Výška trojuholníka: va = 12,2722301129
Výška trojuholníka: vb = 9,81878409032
Výška trojuholníka: vc = 6,13661505645
Ťažnica: ta = 19,0921883092
Ťažnica: tb = 17,42884250579
Ťažnica: tc = 6,36439610307
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,88876002656
Polomer opísanej kružnice: R = 14,66771759525
Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[10,31325; 6,13661505645]
Ťažisko: T[11,43875; 2,04553835215]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -8,43436261727]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 2,88876002656]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,85331520035° = 155°51'11″ = 0,42114420015 rad
∠ B' = β' = 149,24664801919° = 149°14'47″ = 0,53767501772 rad
∠ C' = γ' = 54.99003678046° = 54°54'1″ = 2,18334004748 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=15 c=24
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+15+24=51
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=251=25,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25,5(25,5−12)(25,5−15)(25,5−24) S=5421,94=73,63
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 73,63=12,27 vb=b2 S=152⋅ 73,63=9,82 vc=c2 S=242⋅ 73,63=6,14
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 24152+242−122)=24°8′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 24122+242−152)=30°45′13" γ=180°−α−β=180°−24°8′49"−30°45′13"=125°5′59"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=25,573,63=2,89
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,888⋅ 25,512⋅ 15⋅ 24=14,67
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 242−122=19,092 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 122−152=17,428 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 152−242=6,364
Vypočítať ďaľší trojuholník