Trojuholník 12 16 18

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12 b = 16 c = 18

Obsah trojuholníka: S = 94,10110095589
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Uhol ∠ A = α = 40,80444376906° = 40°48'16″ = 0,71221717871 rad
Uhol ∠ B = β = 60,61107200521° = 60°36'39″ = 1,05878566269 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,58548422573° = 78°35'5″ = 1,37215642395 rad

Výška trojuholníka: v_a = 15,68435015931
Výška trojuholníka: v_b = 11,76326261949
Výška trojuholníka: v_c = 10,45656677288

Ťažnica: t_a = 15,93773774505
Ťažnica: t_b = 13,03884048104
Ťažnica: t_c = 10,90987121146

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,09113482417
Polomer opísanej kružnice: R = 9,18216230671

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[5,88988888889; 10,45656677288]
Ťažisko: T[7,9632962963; 3,48552225763]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 1,8177196232]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 4,09113482417]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,19655623094° = 139°11'44″ = 0,71221717871 rad
∠ B' = β' = 119,38992799479° = 119°23'21″ = 1,05878566269 rad
∠ C' = γ' = 101,41551577427° = 101°24'55″ = 1,37215642395 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 16 c = 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 16 + 18 = 46

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 12) (23 - 16) (23 - 18) S = 8855 = 94, 1

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 4 , 1}{1 2} = 15, 68 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 4 , 1}{1 6} = 11, 76 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 4 , 1}{1 8} = 10, 46

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 8}) = 40 ° 4 8^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 8}) = 60 ° 3 6^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 4 8^{'} 16 " - 60 ° 3 6^{'} 39 " = 78 ° 3 5^{'} 5 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 4 , 1}{2 3} = 4, 09

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 6 \cdot 1 8}{4 \cdot 4 , 0 9 1 \cdot 2 3} = 9, 18

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 15, 937 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 13, 038 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 10, 909

Vypočítať ďaľší trojuholník