Trojuholník 12 16 19

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12 b = 16 c = 19

Obsah trojuholníka: S = 95,50435994086
Obvod trojuholníka: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5

Uhol ∠ A = α = 38,92657794574° = 38°55'33″ = 0,67993830154 rad
Uhol ∠ B = β = 56,90333738225° = 56°54'12″ = 0,99331512287 rad
Uhol ∠ C = γ = 84,17108467201° = 84°10'15″ = 1,46990584095 rad

Výška trojuholníka: v_a = 15,91772665681
Výška trojuholníka: v_b = 11,93879499261
Výška trojuholníka: v_c = 10,05330104641

Ťažnica: t_a = 16,50875740192
Ťažnica: t_b = 13,73295302177
Ťažnica: t_c = 10,47661634199

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,06439829536
Polomer opísanej kružnice: R = 9,54993783025

Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[6,55326315789; 10,05330104641]
Ťažisko: T[8,51875438596; 3,3511003488]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; 0,97698587338]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 4,06439829536]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,07442205426° = 141°4'27″ = 0,67993830154 rad
∠ B' = β' = 123,09766261776° = 123°5'48″ = 0,99331512287 rad
∠ C' = γ' = 95,82991532799° = 95°49'45″ = 1,46990584095 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 16 c = 19

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 16 + 19 = 47

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7}{2} = 23, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23, 5 (23, 5 - 12) (23, 5 - 16) (23, 5 - 19) S = 9120, 94 = 95, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5}{1 2} = 15, 92 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5}{1 6} = 11, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5}{1 9} = 10, 05

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 9}) = 38 ° 5 5^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 9}) = 56 ° 5 4^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 5 5^{'} 33 " - 56 ° 5 4^{'} 12 " = 84 ° 1 0^{'} 15 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 5 , 5}{2 3 , 5} = 4, 06

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 6 \cdot 1 9}{4 \cdot 4 , 0 6 4 \cdot 2 3 , 5} = 9, 55

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 16, 508 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 13, 73 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 10, 476

Vypočítať ďaľší trojuholník