Trojuholník 12 17 24

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12 b = 17 c = 24

Obsah trojuholníka: S = 95,5329772846
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 27,92329129398° = 27°55'22″ = 0,48773467675 rad
Uhol ∠ B = β = 41,56597864393° = 41°33'35″ = 0,72553551098 rad
Uhol ∠ C = γ = 110,51773006209° = 110°31'2″ = 1,92988907763 rad

Výška trojuholníka: v_a = 15,92216288077
Výška trojuholníka: v_b = 11,23987968054
Výška trojuholníka: v_c = 7,96108144038

Ťažnica: t_a = 19,91223077517
Ťažnica: t_b = 16,96331954537
Ťažnica: t_c = 8,5154693183

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,60548970885
Polomer opísanej kružnice: R = 12,81327594522

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[8,97991666667; 7,96108144038]
Ťažisko: T[10,99330555556; 2,65436048013]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -4,49107465727]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 3,60548970885]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,07770870602° = 152°4'38″ = 0,48773467675 rad
∠ B' = β' = 138,44402135608° = 138°26'25″ = 0,72553551098 rad
∠ C' = γ' = 69,48326993791° = 69°28'58″ = 1,92988907763 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 17 c = 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 17 + 24 = 53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 12) (26, 5 - 17) (26, 5 - 24) S = 9125, 94 = 95, 53

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5 3}{1 2} = 15, 92 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5 3}{1 7} = 11, 24 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 5 , 5 3}{2 4} = 7, 96

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 4}) = 27 ° 5 5^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 4}) = 41 ° 3 3^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 27 ° 5 5^{'} 22 " - 41 ° 3 3^{'} 35 " = 110 ° 3 1^{'} 2 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 5 , 5 3}{2 6 , 5} = 3, 6

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 7 \cdot 2 4}{4 \cdot 3 , 6 0 5 \cdot 2 6 , 5} = 12, 81

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 19, 912 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 16, 963 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 8, 515

Vypočítať ďaľší trojuholník