Trojuholník 12 18 22

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12 b = 18 c = 22

Obsah trojuholníka: S = 107,92659005059
Obvod trojuholníka: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26

Uhol ∠ A = α = 33,03301516046° = 33°1'49″ = 0,57664848979 rad
Uhol ∠ B = β = 54,84772970332° = 54°50'50″ = 0,9577265919 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,12325513621° = 92°7'21″ = 1,60878418366 rad

Výška trojuholníka: v_a = 17,98876500843
Výška trojuholníka: v_b = 11,99217667229
Výška trojuholníka: v_c = 9,81114455005

Ťažnica: t_a = 19,18333260933
Ťažnica: t_b = 15,26443375225
Ťažnica: t_c = 10,63301458127

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,15109961733
Polomer opísanej kružnice: R = 11,00875523524

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[6,90990909091; 9,81114455005]
Ťažisko: T[9,63663636364; 3,27704818335]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -0,40876871242]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 4,15109961733]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,97698483954° = 146°58'11″ = 0,57664848979 rad
∠ B' = β' = 125,15327029668° = 125°9'10″ = 0,9577265919 rad
∠ C' = γ' = 87,87774486379° = 87°52'39″ = 1,60878418366 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 18 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 18 + 22 = 52

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 2}{2} = 26

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26 (26 - 12) (26 - 18) (26 - 22) S = 11648 = 107, 93

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 9 3}{1 2} = 17, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 9 3}{1 8} = 11, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 7 , 9 3}{2 2} = 9, 81

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 2}) = 33 ° 1^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 2}) = 54 ° 5 0^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 1^{'} 49 " - 54 ° 5 0^{'} 50 " = 92 ° 7^{'} 21 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 7 , 9 3}{2 6} = 4, 15

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 8 \cdot 2 2}{4 \cdot 4 , 1 5 1 \cdot 2 6} = 11, 01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 19, 183 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 15, 264 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 10, 63

Vypočítať ďaľší trojuholník