Trojuholník 12 18 23

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12 b = 18 c = 23

Obsah trojuholníka: S = 106,91879007463
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 31,09985459112° = 31°5'55″ = 0,54327720187 rad
Uhol ∠ B = β = 50,78439487166° = 50°47'2″ = 0,88663471123 rad
Uhol ∠ C = γ = 98,11875053723° = 98°7'3″ = 1,71224735226 rad

Výška trojuholníka: v_a = 17,82196501244
Výška trojuholníka: v_b = 11,88797667496
Výška trojuholníka: v_c = 9,29772087605

Ťažnica: t_a = 19,76110728454
Ťažnica: t_b = 15,98443673631
Ťažnica: t_c = 10,08771205009

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,0354637764
Polomer opísanej kružnice: R = 11,61663896909

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[7,58769565217; 9,29772087605]
Ťažisko: T[10,19656521739; 3,09990695868]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -1,6440277248]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 4,0354637764]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,90114540888° = 148°54'5″ = 0,54327720187 rad
∠ B' = β' = 129,21660512835° = 129°12'58″ = 0,88663471123 rad
∠ C' = γ' = 81,88224946277° = 81°52'57″ = 1,71224735226 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 18 c = 23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 18 + 23 = 53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 12) (26, 5 - 18) (26, 5 - 23) S = 11431, 44 = 106, 92

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 9 2}{1 2} = 17, 82 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 9 2}{1 8} = 11, 88 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 9 2}{2 3} = 9, 3

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 3}) = 31 ° 5^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 3}) = 50 ° 4 7^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 31 ° 5^{'} 55 " - 50 ° 4 7^{'} 2 " = 98 ° 7^{'} 3 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 6 , 9 2}{2 6 , 5} = 4, 03

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 8 \cdot 2 3}{4 \cdot 4 , 0 3 5 \cdot 2 6 , 5} = 11, 62

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 19, 761 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 15, 984 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 10, 087

Vypočítať ďaľší trojuholník