Trojuholník 12 19 30




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12   b = 19   c = 30

Obsah trojuholníka: S = 56,96599640098
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Uhol ∠ A = α = 11,52987444337° = 11°31'43″ = 0,2011214549 rad
Uhol ∠ B = β = 18,448802355° = 18°26'53″ = 0,32219787514 rad
Uhol ∠ C = γ = 150,02332320163° = 150°1'24″ = 2,61883993532 rad

Výška trojuholníka: va = 9,4933327335
Výška trojuholníka: vb = 5,99657856852
Výška trojuholníka: vc = 3,7977330934

Ťažnica: ta = 24,38223706805
Ťažnica: tb = 20,77985947552
Ťažnica: tc = 5,24440442409

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,86875398036
Polomer opísanej kružnice: R = 30,02110863846

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[11,38333333333; 3,7977330934]
Ťažisko: T[13,79444444444; 1,2665776978]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -26,00551077235]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 1,86875398036]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 168,47112555664° = 168°28'17″ = 0,2011214549 rad
∠ B' = β' = 161,552197645° = 161°33'7″ = 0,32219787514 rad
∠ C' = γ' = 29,97767679837° = 29°58'36″ = 2,61883993532 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=19 c=30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=12+19+30=61

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=261=30,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=30,5(30,512)(30,519)(30,530) S=3244,44=56,96

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=122 56,96=9,49 vb=b2 S=192 56,96=6 vc=c2 S=302 56,96=3,8

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 19 30192+302122)=11°3143"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 12 30122+302192)=18°2653" γ=180°αβ=180°11°3143"18°2653"=150°124"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=30,556,96=1,87

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 1,868 30,512 19 30=30,02

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 192+2 302122=24,382 tb=22c2+2a2b2=22 302+2 122192=20,779 tc=22a2+2b2c2=22 122+2 192302=5,244

Vypočítať ďaľší trojuholník