Trojuholník 12 20 27
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 12 b = 20 c = 27Obsah trojuholníka: S = 110,72991176701
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5
Uhol ∠ A = α = 24,21216095233° = 24°12'42″ = 0,42325723034 rad
Uhol ∠ B = β = 43,11987806049° = 43°7'8″ = 0,7532564691 rad
Uhol ∠ C = γ = 112,67696098718° = 112°40'11″ = 1,96664556592 rad
Výška trojuholníka: va = 18,4554852945
Výška trojuholníka: vb = 11,0732911767
Výška trojuholníka: vc = 8,20221568645
Ťažnica: ta = 22,98991278651
Ťažnica: tb = 18,34439363278
Ťažnica: tc = 9,47436476607
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,75435294125
Polomer opísanej kružnice: R = 14,63302981012
Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[8,75992592593; 8,20221568645]
Ťažisko: T[11,92197530864; 2,73440522882]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; -5,63987607265]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9,5; 3,75435294125]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,78883904767° = 155°47'18″ = 0,42325723034 rad
∠ B' = β' = 136,88112193951° = 136°52'52″ = 0,7532564691 rad
∠ C' = γ' = 67,33303901283° = 67°19'49″ = 1,96664556592 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=20 c=27
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+20+27=59
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=259=29,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=29,5(29,5−12)(29,5−20)(29,5−27) S=12260,94=110,73
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 110,73=18,45 vb=b2 S=202⋅ 110,73=11,07 vc=c2 S=272⋅ 110,73=8,2
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 27202+272−122)=24°12′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 27122+272−202)=43°7′8" γ=180°−α−β=180°−24°12′42"−43°7′8"=112°40′11"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=29,5110,73=3,75
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,754⋅ 29,512⋅ 20⋅ 27=14,63
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 272−122=22,989 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 272+2⋅ 122−202=18,344 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 202−272=9,474
Vypočítať ďaľší trojuholník