Trojuholník 12 20 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 12 b = 20 c = 30Obsah trojuholníka: S = 80,49222356504
Obvod trojuholníka: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31
Uhol ∠ A = α = 15,56435751871° = 15°33'49″ = 0,27216356304 rad
Uhol ∠ B = β = 26,56328406278° = 26°33'46″ = 0,46436090276 rad
Uhol ∠ C = γ = 137,87435841851° = 137°52'25″ = 2,40663479956 rad
Výška trojuholníka: va = 13,41553726084
Výška trojuholníka: vb = 8,0499223565
Výška trojuholníka: vc = 5,36661490434
Ťažnica: ta = 24,77990233867
Ťažnica: tb = 20,54326385842
Ťažnica: tc = 6,85656546004
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,59765237307
Polomer opísanej kružnice: R = 22,36224053358
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[10,73333333333; 5,36661490434]
Ťažisko: T[13,57877777778; 1,78987163478]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -16,58554506241]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 2,59765237307]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,43664248129° = 164°26'11″ = 0,27216356304 rad
∠ B' = β' = 153,43771593722° = 153°26'14″ = 0,46436090276 rad
∠ C' = γ' = 42,12664158149° = 42°7'35″ = 2,40663479956 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=20 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+20+30=62
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=262=31
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31(31−12)(31−20)(31−30) S=6479=80,49
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 80,49=13,42 vb=b2 S=202⋅ 80,49=8,05 vc=c2 S=302⋅ 80,49=5,37
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 30202+302−122)=15°33′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 30122+302−202)=26°33′46" γ=180°−α−β=180°−15°33′49"−26°33′46"=137°52′25"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=3180,49=2,6
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,597⋅ 3112⋅ 20⋅ 30=22,36
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 302−122=24,779 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 122−202=20,543 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 202−302=6,856
Vypočítať ďaľší trojuholník