Trojuholník 12 20 30




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12   b = 20   c = 30

Obsah trojuholníka: S = 80,49222356504
Obvod trojuholníka: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31

Uhol ∠ A = α = 15,56435751871° = 15°33'49″ = 0,27216356304 rad
Uhol ∠ B = β = 26,56328406278° = 26°33'46″ = 0,46436090276 rad
Uhol ∠ C = γ = 137,87435841851° = 137°52'25″ = 2,40663479956 rad

Výška trojuholníka: va = 13,41553726084
Výška trojuholníka: vb = 8,0499223565
Výška trojuholníka: vc = 5,36661490434

Ťažnica: ta = 24,77990233867
Ťažnica: tb = 20,54326385842
Ťažnica: tc = 6,85656546004

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,59765237307
Polomer opísanej kružnice: R = 22,36224053358

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[10,73333333333; 5,36661490434]
Ťažisko: T[13,57877777778; 1,78987163478]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -16,58554506241]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 2,59765237307]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,43664248129° = 164°26'11″ = 0,27216356304 rad
∠ B' = β' = 153,43771593722° = 153°26'14″ = 0,46436090276 rad
∠ C' = γ' = 42,12664158149° = 42°7'35″ = 2,40663479956 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=20 c=30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=12+20+30=62

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=262=31

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=31(3112)(3120)(3130) S=6479=80,49

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=122 80,49=13,42 vb=b2 S=202 80,49=8,05 vc=c2 S=302 80,49=5,37

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 20 30202+302122)=15°3349"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 12 30122+302202)=26°3346" γ=180°αβ=180°15°3349"26°3346"=137°5225"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=3180,49=2,6

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,597 3112 20 30=22,36

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 202+2 302122=24,779 tb=22c2+2a2b2=22 302+2 122202=20,543 tc=22a2+2b2c2=22 122+2 202302=6,856

Vypočítať ďaľší trojuholník