Trojuholník 12 25 29
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 12 b = 25 c = 29Obsah trojuholníka: S = 148,91660837519
Obvod trojuholníka: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33
Uhol ∠ A = α = 24,25552873422° = 24°15'19″ = 0,42333346251 rad
Uhol ∠ B = β = 58,85326100785° = 58°51'9″ = 1,02771718193 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,89221025793° = 96°53'32″ = 1,69110862092 rad
Výška trojuholníka: va = 24,8199347292
Výška trojuholníka: vb = 11,91332867002
Výška trojuholníka: vc = 10,27700747415
Ťažnica: ta = 26,40107575649
Ťažnica: tb = 18,33771208209
Ťažnica: tc = 13.22003787824
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,51326085985
Polomer opísanej kružnice: R = 14,6065541223
Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[6,20768965517; 10,27700747415]
Ťažisko: T[11,73656321839; 3,42333582472]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -1,75326649468]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 4,51326085985]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,74547126578° = 155°44'41″ = 0,42333346251 rad
∠ B' = β' = 121,14773899215° = 121°8'51″ = 1,02771718193 rad
∠ C' = γ' = 83,10878974207° = 83°6'28″ = 1,69110862092 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=12 b=25 c=29
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=12+25+29=66
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=266=33
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=33(33−12)(33−25)(33−29) S=22176=148,92
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 148,92=24,82 vb=b2 S=252⋅ 148,92=11,91 vc=c2 S=292⋅ 148,92=10,27
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 25⋅ 29252+292−122)=24°15′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 29122+292−252)=58°51′9" γ=180°−α−β=180°−24°15′19"−58°51′9"=96°53′32"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=33148,92=4,51
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,513⋅ 3312⋅ 25⋅ 29=14,61
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 252+2⋅ 292−122=26,401 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 122−252=18,337 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 252−292=13,2
Vypočítať ďaľší trojuholník