Trojuholník 12 25 29

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 12 b = 25 c = 29

Obsah trojuholníka: S = 148,91660837519
Obvod trojuholníka: o = 66
Semiperimeter (poloobvod): s = 33

Uhol ∠ A = α = 24,25552873422° = 24°15'19″ = 0,42333346251 rad
Uhol ∠ B = β = 58,85326100785° = 58°51'9″ = 1,02771718193 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,89221025793° = 96°53'32″ = 1,69110862092 rad

Výška trojuholníka: v_a = 24,8199347292
Výška trojuholníka: v_b = 11,91332867002
Výška trojuholníka: v_c = 10,27700747415

Ťažnica: t_a = 26,40107575649
Ťažnica: t_b = 18,33771208209
Ťažnica: t_c = 13.22003787824

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,51326085985
Polomer opísanej kružnice: R = 14,6065541223

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[6,20768965517; 10,27700747415]
Ťažisko: T[11,73656321839; 3,42333582472]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -1,75326649468]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 4,51326085985]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,74547126578° = 155°44'41″ = 0,42333346251 rad
∠ B' = β' = 121,14773899215° = 121°8'51″ = 1,02771718193 rad
∠ C' = γ' = 83,10878974207° = 83°6'28″ = 1,69110862092 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 12 b = 25 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 12 + 25 + 29 = 66

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 6}{2} = 33

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 33 (33 - 12) (33 - 25) (33 - 29) S = 22176 = 148, 92

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 8 , 9 2}{1 2} = 24, 82 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 8 , 9 2}{2 5} = 11, 91 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 8 , 9 2}{2 9} = 10, 27

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 5 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 2 5 \cdot 2 9}) = 24 ° 1 5^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 9}) = 58 ° 5 1^{'} 9 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 24 ° 1 5^{'} 19 " - 58 ° 5 1^{'} 9 " = 96 ° 5 3^{'} 32 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 8 , 9 2}{3 3} = 4, 51

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 2 5 \cdot 2 9}{4 \cdot 4 , 5 1 3 \cdot 3 3} = 14, 61

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 26, 401 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 18, 337 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 13, 2

Vypočítať ďaľší trojuholník