Trojuholník 13 13 14

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 13 b = 13 c = 14

Obsah trojuholníka: S = 76,68111580507
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Uhol ∠ A = α = 57,42110296072° = 57°25'16″ = 1,00221860265 rad
Uhol ∠ B = β = 57,42110296072° = 57°25'16″ = 1,00221860265 rad
Uhol ∠ C = γ = 65,15879407856° = 65°9'29″ = 1,13772206005 rad

Výška trojuholníka: v_a = 11,79771012386
Výška trojuholníka: v_b = 11,79771012386
Výška trojuholníka: v_c = 10,95444511501

Ťažnica: t_a = 11,84327192823
Ťažnica: t_b = 11,84327192823
Ťažnica: t_c = 10,95444511501

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,83440579025
Polomer opísanej kružnice: R = 7,71437593515

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[7; 10,95444511501]
Ťažisko: T[7; 3,65114837167]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; 3,24106917986]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,83440579025]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 122,57989703928° = 122°34'44″ = 1,00221860265 rad
∠ B' = β' = 122,57989703928° = 122°34'44″ = 1,00221860265 rad
∠ C' = γ' = 114,84220592144° = 114°50'31″ = 1,13772206005 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 13 b = 13 c = 14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 13 + 13 + 14 = 40

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0}{2} = 20

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20 (20 - 13) (20 - 13) (20 - 14) S = 5880 = 76, 68

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 6 , 6 8}{1 3} = 11, 8 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 6 , 6 8}{1 3} = 11, 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 6 , 6 8}{1 4} = 10, 95

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 4}) = 57 ° 2 5^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 4}) = 57 ° 2 5^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 57 ° 2 5^{'} 16 " - 57 ° 2 5^{'} 16 " = 65 ° 9^{'} 29 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 6 , 6 8}{2 0} = 3, 83

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 3 \cdot 1 4}{4 \cdot 3 , 8 3 4 \cdot 2 0} = 7, 71

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 11, 843 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 11, 843 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 10, 954

Vypočítať ďaľší trojuholník