Trojuholník 13 13 22




Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 13   b = 13   c = 22

Obsah trojuholníka: S = 76,2110235533
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Uhol ∠ A = α = 32,2044227504° = 32°12'15″ = 0,5622069803 rad
Uhol ∠ B = β = 32,2044227504° = 32°12'15″ = 0,5622069803 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,59215449921° = 115°35'30″ = 2,01774530476 rad

Výška trojuholníka: va = 11,72546516205
Výška trojuholníka: vb = 11,72546516205
Výška trojuholníka: vc = 6,92882032303

Ťažnica: ta = 16,86597153001
Ťažnica: tb = 16,86597153001
Ťažnica: tc = 6,92882032303

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,17554264805
Polomer opísanej kružnice: R = 12,19765244366

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[11; 6,92882032303]
Ťažisko: T[11; 2,30994010768]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -5,26883212064]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 3,17554264805]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,7965772496° = 147°47'45″ = 0,5622069803 rad
∠ B' = β' = 147,7965772496° = 147°47'45″ = 0,5622069803 rad
∠ C' = γ' = 64,40884550079° = 64°24'30″ = 2,01774530476 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=13 c=22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=13+13+22=48

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=248=24

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=24(2413)(2413)(2422) S=5808=76,21

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=132 76,21=11,72 vb=b2 S=132 76,21=11,72 vc=c2 S=222 76,21=6,93

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 13 22132+222132)=32°1215"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 13 22132+222132)=32°1215" γ=180°αβ=180°32°1215"32°1215"=115°3530"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=2476,21=3,18

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3,175 2413 13 22=12,2

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 132+2 222132=16,86 tb=22c2+2a2b2=22 222+2 132132=16,86 tc=22a2+2b2c2=22 132+2 132222=6,928

Vypočítať ďaľší trojuholník