Trojuholník 13 13 22
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 13 b = 13 c = 22Obsah trojuholníka: S = 76,2110235533
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24
Uhol ∠ A = α = 32,2044227504° = 32°12'15″ = 0,5622069803 rad
Uhol ∠ B = β = 32,2044227504° = 32°12'15″ = 0,5622069803 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,59215449921° = 115°35'30″ = 2,01774530476 rad
Výška trojuholníka: va = 11,72546516205
Výška trojuholníka: vb = 11,72546516205
Výška trojuholníka: vc = 6,92882032303
Ťažnica: ta = 16,86597153001
Ťažnica: tb = 16,86597153001
Ťažnica: tc = 6,92882032303
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,17554264805
Polomer opísanej kružnice: R = 12,19765244366
Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[11; 6,92882032303]
Ťažisko: T[11; 2,30994010768]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -5,26883212064]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 3,17554264805]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,7965772496° = 147°47'45″ = 0,5622069803 rad
∠ B' = β' = 147,7965772496° = 147°47'45″ = 0,5622069803 rad
∠ C' = γ' = 64,40884550079° = 64°24'30″ = 2,01774530476 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=13 c=22
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+13+22=48
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=248=24
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24(24−13)(24−13)(24−22) S=5808=76,21
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 76,21=11,72 vb=b2 S=132⋅ 76,21=11,72 vc=c2 S=222⋅ 76,21=6,93
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 22132+222−132)=32°12′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 22132+222−132)=32°12′15" γ=180°−α−β=180°−32°12′15"−32°12′15"=115°35′30"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2476,21=3,18
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,175⋅ 2413⋅ 13⋅ 22=12,2
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 222−132=16,86 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 132−132=16,86 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 132−222=6,928
Vypočítať ďaľší trojuholník