Trojuholník 13 14 15




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 13   b = 14   c = 15

Obsah trojuholníka: S = 84
Obvod trojuholníka: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Uhol ∠ A = α = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Uhol ∠ B = β = 59,49897625939° = 59°29'23″ = 1,03882922285 rad
Uhol ∠ C = γ = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad

Výška trojuholníka: va = 12,92330769231
Výška trojuholníka: vb = 12
Výška trojuholníka: vc = 11,2

Ťažnica: ta = 12,97111217711
Ťažnica: tb = 12,16655250606
Ťažnica: tc = 11,23661025271

Polomer vpísanej kružnice: r = 4
Polomer opísanej kružnice: R = 8,125

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[6,6; 11,2]
Ťažisko: T[7,2; 3,73333333333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 3,125]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 4]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ B' = β' = 120,51102374061° = 120°30'37″ = 1,03882922285 rad
∠ C' = γ' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=14 c=15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=13+14+15=42

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=242=21

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=21(2113)(2114)(2115) S=7056=84

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=132 84=12,92 vb=b2 S=142 84=12 vc=c2 S=152 84=11,2

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 14 15142+152132)=53°748"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 13 15132+152142)=59°2923" γ=180°αβ=180°53°748"59°2923"=67°2249"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=2184=4

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 4 2113 14 15=8,13

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 142+2 152132=12,971 tb=22c2+2a2b2=22 152+2 132142=12,166 tc=22a2+2b2c2=22 132+2 142152=11,236

Vypočítať ďaľší trojuholník