Trojuholník 13 14 15
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 13 b = 14 c = 15Obsah trojuholníka: S = 84
Obvod trojuholníka: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21
Uhol ∠ A = α = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Uhol ∠ B = β = 59,49897625939° = 59°29'23″ = 1,03882922285 rad
Uhol ∠ C = γ = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Výška trojuholníka: va = 12,92330769231
Výška trojuholníka: vb = 12
Výška trojuholníka: vc = 11,2
Ťažnica: ta = 12,97111217711
Ťažnica: tb = 12,16655250606
Ťažnica: tc = 11,23661025271
Polomer vpísanej kružnice: r = 4
Polomer opísanej kružnice: R = 8,125
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[6,6; 11,2]
Ťažisko: T[7,2; 3,73333333333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 3,125]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 4]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ B' = β' = 120,51102374061° = 120°30'37″ = 1,03882922285 rad
∠ C' = γ' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=14 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+14+15=42
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=242=21
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21(21−13)(21−14)(21−15) S=7056=84
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 84=12,92 vb=b2 S=142⋅ 84=12 vc=c2 S=152⋅ 84=11,2
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 15142+152−132)=53°7′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 15132+152−142)=59°29′23" γ=180°−α−β=180°−53°7′48"−59°29′23"=67°22′49"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2184=4
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4⋅ 2113⋅ 14⋅ 15=8,13
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 152−132=12,971 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 132−142=12,166 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−152=11,236
Vypočítať ďaľší trojuholník