Trojuholník 13 14 16
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 13 b = 14 c = 16Obsah trojuholníka: S = 86,82441757807
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5
Uhol ∠ A = α = 50,82546068485° = 50°49'29″ = 0,88770567305 rad
Uhol ∠ B = β = 56.65999979997° = 56°36' = 0,98878563217 rad
Uhol ∠ C = γ = 72,57553951518° = 72°34'31″ = 1,26766796013 rad
Výška trojuholníka: va = 13,35875655047
Výška trojuholníka: vb = 12,4033453683
Výška trojuholníka: vc = 10,85330219726
Ťažnica: ta = 13,55554417117
Ťažnica: tb = 12,78767118525
Ťažnica: tc = 10,88657705285
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,03883337572
Polomer opísanej kružnice: R = 8,38547614268
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[7,156625; 10,85330219726]
Ťažisko: T[7,719875; 3,61876739909]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; 2,51108214163]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 4,03883337572]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,17553931515° = 129°10'31″ = 0,88770567305 rad
∠ B' = β' = 123.44000020003° = 123°24' = 0,98878563217 rad
∠ C' = γ' = 107,42546048482° = 107°25'29″ = 1,26766796013 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=14 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+14+16=43
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=243=21,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,5(21,5−13)(21,5−14)(21,5−16) S=7538,44=86,82
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 86,82=13,36 vb=b2 S=142⋅ 86,82=12,4 vc=c2 S=162⋅ 86,82=10,85
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 16142+162−132)=50°49′29" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 16132+162−142)=56°36′ γ=180°−α−β=180°−50°49′29"−56°36′=72°34′31"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=21,586,82=4,04
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,038⋅ 21,513⋅ 14⋅ 16=8,38
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 162−132=13,555 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 132−142=12,787 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−162=10,886
Vypočítať ďaľší trojuholník