Trojuholník 13 14 18




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 13   b = 14   c = 18

Obsah trojuholníka: S = 90,42108908383
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Uhol ∠ A = α = 45,85988345181° = 45°51'32″ = 0.88003876535 rad
Uhol ∠ B = β = 50,60985359027° = 50°36'31″ = 0,88332855811 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,53326295792° = 83°31'57″ = 1,4587919419 rad

Výška trojuholníka: va = 13,91109062828
Výška trojuholníka: vb = 12,91772701198
Výška trojuholníka: vc = 10,04767656487

Ťažnica: ta = 14,75663545634
Ťažnica: tb = 14,05334693226
Ťažnica: tc = 10,07547208398

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,01987062595
Polomer opísanej kružnice: R = 9,05876413526

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[8,25; 10,04767656487]
Ťažisko: T[8,75; 3,34989218829]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 1,02202288337]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 4,01987062595]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,14111654819° = 134°8'28″ = 0.88003876535 rad
∠ B' = β' = 129,39114640973° = 129°23'29″ = 0,88332855811 rad
∠ C' = γ' = 96,46773704208° = 96°28'3″ = 1,4587919419 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=14 c=18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=13+14+18=45

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=245=22,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=22,5(22,513)(22,514)(22,518) S=8175,94=90,42

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=132 90,42=13,91 vb=b2 S=142 90,42=12,92 vc=c2 S=182 90,42=10,05

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 14 18142+182132)=45°5132"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 13 18132+182142)=50°3631" γ=180°αβ=180°45°5132"50°3631"=83°3157"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=22,590,42=4,02

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 4,019 22,513 14 18=9,06

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 142+2 182132=14,756 tb=22c2+2a2b2=22 182+2 132142=14,053 tc=22a2+2b2c2=22 132+2 142182=10,075

Vypočítať ďaľší trojuholník