Trojuholník 13 14 18
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 13 b = 14 c = 18Obsah trojuholníka: S = 90,42108908383
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Uhol ∠ A = α = 45,85988345181° = 45°51'32″ = 0.88003876535 rad
Uhol ∠ B = β = 50,60985359027° = 50°36'31″ = 0,88332855811 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,53326295792° = 83°31'57″ = 1,4587919419 rad
Výška trojuholníka: va = 13,91109062828
Výška trojuholníka: vb = 12,91772701198
Výška trojuholníka: vc = 10,04767656487
Ťažnica: ta = 14,75663545634
Ťažnica: tb = 14,05334693226
Ťažnica: tc = 10,07547208398
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,01987062595
Polomer opísanej kružnice: R = 9,05876413526
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[8,25; 10,04767656487]
Ťažisko: T[8,75; 3,34989218829]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 1,02202288337]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 4,01987062595]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,14111654819° = 134°8'28″ = 0.88003876535 rad
∠ B' = β' = 129,39114640973° = 129°23'29″ = 0,88332855811 rad
∠ C' = γ' = 96,46773704208° = 96°28'3″ = 1,4587919419 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=14 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+14+18=45
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−13)(22,5−14)(22,5−18) S=8175,94=90,42
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 90,42=13,91 vb=b2 S=142⋅ 90,42=12,92 vc=c2 S=182⋅ 90,42=10,05
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 18142+182−132)=45°51′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 18132+182−142)=50°36′31" γ=180°−α−β=180°−45°51′32"−50°36′31"=83°31′57"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=22,590,42=4,02
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,019⋅ 22,513⋅ 14⋅ 18=9,06
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 182−132=14,756 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 132−142=14,053 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−182=10,075
Vypočítať ďaľší trojuholník