Trojuholník 13 14 19

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 13 b = 14 c = 19

Obsah trojuholníka: S = 90,99545053286
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Uhol ∠ A = α = 43,17703054388° = 43°10'13″ = 0,7533463969 rad
Uhol ∠ B = β = 47,45993311847° = 47°27'34″ = 0,828832159 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,37703633766° = 89°22'13″ = 1,56598070946 rad

Výška trojuholníka: v_a = 13,99991546659
Výška trojuholníka: v_b = 12,99992150469
Výška trojuholníka: v_c = 9,5788368982

Ťažnica: t_a = 15,37704261489
Ťažnica: t_b = 14,69769384567
Ťažnica: t_c = 9,60546863561

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,95662828404
Polomer opísanej kružnice: R = 9,50105736542

Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[8,78994736842; 9,5788368982]
Ťažisko: T[9,26331578947; 3,19327896607]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; 0,10444019083]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 3,95662828404]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 136,83296945613° = 136°49'47″ = 0,7533463969 rad
∠ B' = β' = 132,54106688153° = 132°32'26″ = 0,828832159 rad
∠ C' = γ' = 90,63296366234° = 90°37'47″ = 1,56598070946 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 13 b = 14 c = 19

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 13 + 14 + 19 = 46

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 13) (23 - 14) (23 - 19) S = 8280 = 90, 99

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 0 , 9 9}{1 3} = 14 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 0 , 9 9}{1 4} = 13 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 0 , 9 9}{1 9} = 9, 58

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 9}) = 43 ° 1 0^{'} 13 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 9}) = 47 ° 2 7^{'} 34 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 43 ° 1 0^{'} 13 " - 47 ° 2 7^{'} 34 " = 89 ° 2 2^{'} 13 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 0 , 9 9}{2 3} = 3, 96

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 4 \cdot 1 9}{4 \cdot 3 , 9 5 6 \cdot 2 3} = 9, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 15, 37 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 14, 697 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 9, 605

Vypočítať ďaľší trojuholník