Trojuholník 13 14 21
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 13 b = 14 c = 21Obsah trojuholníka: S = 88,99443818451
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24
Uhol ∠ A = α = 37,25879160013° = 37°15'29″ = 0,65502733067 rad
Uhol ∠ B = β = 40,69105605975° = 40°41'26″ = 0,71101842569 rad
Uhol ∠ C = γ = 102,05215234012° = 102°3'5″ = 1,781113509 rad
Výška trojuholníka: va = 13,69114433608
Výška trojuholníka: vb = 12,71334831207
Výška trojuholníka: vc = 8,47656554138
Ťažnica: ta = 16,62107701386
Ťažnica: tb = 16
Ťažnica: tc = 8,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,70880992435
Polomer opísanej kružnice: R = 10,73766328097
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[9,85771428571; 8,47656554138]
Ťažisko: T[10,28657142857; 2,82552184713]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -2,24217145427]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 3,70880992435]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,74220839987° = 142°44'31″ = 0,65502733067 rad
∠ B' = β' = 139,30994394025° = 139°18'34″ = 0,71101842569 rad
∠ C' = γ' = 77,94884765988° = 77°56'55″ = 1,781113509 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=14 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+14+21=48
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=248=24
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24(24−13)(24−14)(24−21) S=7920=88,99
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 88,99=13,69 vb=b2 S=142⋅ 88,99=12,71 vc=c2 S=212⋅ 88,99=8,48
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 21142+212−132)=37°15′29" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 21132+212−142)=40°41′26" γ=180°−α−β=180°−37°15′29"−40°41′26"=102°3′5"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2488,99=3,71
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,708⋅ 2413⋅ 14⋅ 21=10,74
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 212−132=16,621 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 132−142=16 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−212=8,5
Vypočítať ďaľší trojuholník