Trojuholník 13 14 21




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 13   b = 14   c = 21

Obsah trojuholníka: S = 88,99443818451
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Uhol ∠ A = α = 37,25879160013° = 37°15'29″ = 0,65502733067 rad
Uhol ∠ B = β = 40,69105605975° = 40°41'26″ = 0,71101842569 rad
Uhol ∠ C = γ = 102,05215234012° = 102°3'5″ = 1,781113509 rad

Výška trojuholníka: va = 13,69114433608
Výška trojuholníka: vb = 12,71334831207
Výška trojuholníka: vc = 8,47656554138

Ťažnica: ta = 16,62107701386
Ťažnica: tb = 16
Ťažnica: tc = 8,5

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,70880992435
Polomer opísanej kružnice: R = 10,73766328097

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[9,85771428571; 8,47656554138]
Ťažisko: T[10,28657142857; 2,82552184713]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -2,24217145427]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 3,70880992435]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,74220839987° = 142°44'31″ = 0,65502733067 rad
∠ B' = β' = 139,30994394025° = 139°18'34″ = 0,71101842569 rad
∠ C' = γ' = 77,94884765988° = 77°56'55″ = 1,781113509 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=14 c=21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=13+14+21=48

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=248=24

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=24(2413)(2414)(2421) S=7920=88,99

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=132 88,99=13,69 vb=b2 S=142 88,99=12,71 vc=c2 S=212 88,99=8,48

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 14 21142+212132)=37°1529"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 13 21132+212142)=40°4126" γ=180°αβ=180°37°1529"40°4126"=102°35"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=2488,99=3,71

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3,708 2413 14 21=10,74

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 142+2 212132=16,621 tb=22c2+2a2b2=22 212+2 132142=16 tc=22a2+2b2c2=22 132+2 142212=8,5

Vypočítať ďaľší trojuholník