Trojuholník 13 14 24
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 13 b = 14 c = 24Obsah trojuholníka: S = 74,15114497498
Obvod trojuholníka: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5
Uhol ∠ A = α = 26,19218154354° = 26°11'31″ = 0,45771334164 rad
Uhol ∠ B = β = 28,38108258398° = 28°22'51″ = 0,49553388553 rad
Uhol ∠ C = γ = 125,42773587249° = 125°25'38″ = 2,18991203818 rad
Výška trojuholníka: va = 11,40879153461
Výška trojuholníka: vb = 10,593306425
Výška trojuholníka: vc = 6,17992874792
Ťažnica: ta = 18,54404962177
Ťažnica: tb = 17,98661057486
Ťažnica: tc = 6,2054836823
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,90878999902
Polomer opísanej kružnice: R = 14,72766169938
Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[11,43875; 6,17992874792]
Ťažisko: T[11,81325; 2,06597624931]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -8,53765829277]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 2,90878999902]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,80881845646° = 153°48'29″ = 0,45771334164 rad
∠ B' = β' = 151,61991741602° = 151°37'9″ = 0,49553388553 rad
∠ C' = γ' = 54,57326412751° = 54°34'22″ = 2,18991203818 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=14 c=24
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+14+24=51
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=251=25,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25,5(25,5−13)(25,5−14)(25,5−24) S=5498,44=74,15
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 74,15=11,41 vb=b2 S=142⋅ 74,15=10,59 vc=c2 S=242⋅ 74,15=6,18
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 24142+242−132)=26°11′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 24132+242−142)=28°22′51" γ=180°−α−β=180°−26°11′31"−28°22′51"=125°25′38"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=25,574,15=2,91
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,908⋅ 25,513⋅ 14⋅ 24=14,73
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 242−132=18,54 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 132−142=17,986 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−242=6,205
Vypočítať ďaľší trojuholník