Trojuholník 13 15 15

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 13 b = 15 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 87,87702879249
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Uhol ∠ A = α = 51,35985772389° = 51°21'31″ = 0,8966376272 rad
Uhol ∠ B = β = 64,32107113805° = 64°19'15″ = 1,12326081908 rad
Uhol ∠ C = γ = 64,32107113805° = 64°19'15″ = 1,12326081908 rad

Výška trojuholníka: v_a = 13,51985058346
Výška trojuholníka: v_b = 11,716603839
Výška trojuholníka: v_c = 11,716603839

Ťažnica: t_a = 13,51985058346
Ťažnica: t_b = 11,86438105177
Ťažnica: t_c = 11,86438105177

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,0876990136
Polomer opísanej kružnice: R = 8,32219256164

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[5,63333333333; 11,716603839]
Ťažisko: T[6,87877777778; 3,905534613]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 3,60661677671]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 4,0876990136]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 128,64114227611° = 128°38'29″ = 0,8966376272 rad
∠ B' = β' = 115,67992886195° = 115°40'45″ = 1,12326081908 rad
∠ C' = γ' = 115,67992886195° = 115°40'45″ = 1,12326081908 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 13 b = 15 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 13 + 15 + 15 = 43

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 13) (21, 5 - 15) (21, 5 - 15) S = 7721, 19 = 87, 87

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 7 , 8 7}{1 3} = 13, 52 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 7 , 8 7}{1 5} = 11, 72 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 7 , 8 7}{1 5} = 11, 72

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 5}) = 51 ° 2 1^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 5}) = 64 ° 1 9^{'} 15 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 51 ° 2 1^{'} 31 " - 64 ° 1 9^{'} 15 " = 64 ° 1 9^{'} 15 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 7 , 8 7}{2 1 , 5} = 4, 09

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 5 \cdot 1 5}{4 \cdot 4 , 0 8 7 \cdot 2 1 , 5} = 8, 32

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 13, 519 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 11, 864 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 11, 864

Vypočítať ďaľší trojuholník