Trojuholník 13 15 17

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 13 b = 15 c = 17

Obsah trojuholníka: S = 93.98998801916
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Uhol ∠ A = α = 47,43215457967° = 47°25'54″ = 0,82878366435 rad
Uhol ∠ B = β = 58,18769524789° = 58°11'13″ = 1,01655539025 rad
Uhol ∠ C = γ = 74,38215017244° = 74°22'53″ = 1,29882021077 rad

Výška trojuholníka: v_a = 14,44661354141
Výška trojuholníka: v_b = 12,52199840255
Výška trojuholníka: v_c = 11,04770447284

Ťažnica: t_a = 14,65443508898
Ťažnica: t_b = 13,14334394281
Ťažnica: t_c = 11,16991539518

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,17333280085
Polomer opísanej kružnice: R = 8,82658898553

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[6,85329411765; 11,04770447284]
Ťažisko: T[7,95109803922; 3,68223482428]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; 2,37662011149]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 4,17333280085]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,56884542033° = 132°34'6″ = 0,82878366435 rad
∠ B' = β' = 121,81330475211° = 121°48'47″ = 1,01655539025 rad
∠ C' = γ' = 105,61884982757° = 105°37'7″ = 1,29882021077 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 13 b = 15 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 13 + 15 + 17 = 45

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5}{2} = 22, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 5 (22, 5 - 13) (22, 5 - 15) (22, 5 - 17) S = 8817, 19 = 93, 9

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 3 , 9}{1 3} = 14, 45 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 3 , 9}{1 5} = 12, 52 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 3 , 9}{1 7} = 11, 05

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}) = 47 ° 2 5^{'} 54 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 7}) = 58 ° 1 1^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 47 ° 2 5^{'} 54 " - 58 ° 1 1^{'} 13 " = 74 ° 2 2^{'} 53 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 3 , 9}{2 2 , 5} = 4, 17

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 5 \cdot 1 7}{4 \cdot 4 , 1 7 3 \cdot 2 2 , 5} = 8, 83

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 14, 654 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 13, 143 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 11, 169

Vypočítať ďaľší trojuholník